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rebbero ad uno stesso sistema rigato, di cui il sistema direttore sarebbe costituito da 
raggi uniti della correlazione nulla di osculamento della C3, e quindi conterrebbe le 
due tangenti alla cubica nei punti di appoggio delle d,,d2, che sarebbero perciò due 
delle quattro tangenti 4,0,6,4, e che risulterebbero raggi uniti della collimeazione; 
mentre in nessuna delle tre collineazioni, che si considerano, è raggio unito alcuna 
delle tangenti «, d, c, d. 
Dunque le tre collineazioni K considerate, che a due a due sono fra loro invo- 
lutorie, hanno per raggio unito il raggio 7, il quale perciò sarà una direttrice del si- 
stema rigato, a cui appartengono gli assi delle tre collineazioni. 
4. Noi vogliamo ora considerare la superficie luogo dei punti coniugati ad un 
punto P nelle collineazioni armoniche K del sistema X. 
Essendo razionale questo sistema, sarà anche razionale la superficie F, di cui vo- 
gliamo occuparci. 
Siano d, e, f i raggi di osculamento alla cubica C3 uscenti dal punto P (!), e 
d',e',f" siano i raggi coniugati ad essi, uscenti dal punto P' coniugato al punto P ri- 
spetto alla cubica. 
Nelle tre collineazioni armoniche K: (d-d'), (e-e') (/-/"), e solo in esse, il punto P 
è coniugato a sè stesso, onde esso punto è triplo per la superficie F. 
Di più una retta arbitraria passante per P sega ulteriormente la superficie Fin 
altri tre punti, che sono i coniugati del punto P nelle tre collineazioni K, di cui la 
retta considerata è raggio unito; onde la superficie F, che si esamina, è di 6° ordine. 
Si presenta da prima su la superficie Fun sistema di coniche giacenti nei piani 
osculatori della cubica Cz; ogni piano osculatore ne contiene tre, che formano la com- 
pleta sezione di esso con la superficie. 
Sia infatti © un piano osculatore alla cubica Cs in 0. Se P' è un punto della 
superficie Fs situato in w,. che sia coniugato al punto P nella collineazione K di £, 
in questa al piano © dovrà essere coniugato uno dei tre piani osculatori alla C3 passanti 
per il punto P; e viceversa nelle collineazioni K, in cui ad uno dei piani osculatori 
«,,y passanti per P_ corrisponde il piano è, al punto P corrispondono punti del 
piano @. 
Ora delle collineazioni K, in cui sono coniugati i piani ©, e, ciascuna vien deter- 
minata quando del piano ? si assegni il corrispondente piano osculatore "; allora del 
piano y resterà determinato il corrispondente piano y' e il punto è 8'y' sarà il punto P' 
coniugato in essa collineazione al punto P. 
Ora col variare del piano #', il piano y' viene a descrivere una serie proiettiva 
a quella di pg", e quindi le tracce di tali piani sul piano © descriveranno due serie 
proiettive nella conica da esse inviluppata, in modo che l’assieme dei punti @f'y, 
coniugati al punto P nelle collineazioni del sistema che si considera, sarà una conica. 
Quando il piano variabile 6" viene a coincidere con uno dei piani w,@, la cor- 
rispondente collineazione sarà degenere, e quindi anche il piano y' verrà a coincidere 
(*) Si suppone che il punto P non cada su alcuna tangente della cubica C;, altrimenti la super- 
ficie, che cercasi, si spezzerebbe nella sviluppabile osculatrice della C3 (sviluppabile, che mutasi in 
sè stessa in tutte le collineazioni K del sistema £) e nel piano osculatore alla cubica passante per 
la tangente, su cui trovasi il punto P. 
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