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col piano © o col piano @; onde le tangenti unite delle due serie proiettive sono la 
mu=0 ela «, e quindi la conica ora determinata tocca la conica del piano  invi- 
luppata dai piani osculatori alla cubica, nel punto O e nel punto @ 4 (essendo & la 
tangente alla cubica nel piano osculatore @). 
Quando invece il piano £' coincide col piano y, il piano y°. coincide ell piano , 
e quindi la conica ottenuta passa anche pel punto © y. 
Analogamente si ottengono nel piano è altre due coniche della superficie Fy, 
luoghi dei punti P' coniugati al punto P nei due sistemi di collineazioni armoniche K, 
nelle quali il piano w è coniugato ad uno dei piani {,y. 
Entrambe queste coniche hanno un doppio contatto con la con la conica invilup- 
pata dai piani osculatori; la prima nei punti 0,@0, la seconda nei punti 0, we (es- 
sendo d,c le tangenti alla cubica nei piani #,y); di più di esse la prima si appoggia 
alla retta ye, e la seconda alla retta @ f. 
Col variare del piano osculatore © veniamo ad avere infinite di siffatte terne di 
coniche, appoggiate alla Cz e alle rette 4,0, c, #y,y@, aB. Queste linee giaceranno 
perciò su la superficie F; ed è facile vedere che le rette fy,y@, @$8 contengono i punti 
coniugati al punto P nelle collineazioni K rispettivamente involutorie alle collinea- 
‘zioni (BC), (CA), (AB) di X; che le tangenti «,,c corrispondono per intero al punto P 
nelle collineazioni degeneri (4-4) = (A-A), (0-0) = (B-B), (c-ce) = (0-C) del sistema 
(A, B,C sono i punti di contatto delle 4,d,c); e che infine nelle altre corrispondenze 
degeneri (0-0) al punto P corrispondono i singoli punti O della cubica Cz. 
Ogni tangente o di questa, diversa dalle 4,d,c, ha in comune con la superficie F 
sei punti coincidenti col punto di contatto O con la ©, giacchè coincidono in O i sei 
punti di sezione della o con le tre coniche della F situate nel piano osculatore w in O. 
Invece ogni corda della cubica C: ha in comune con la superficie F_oltre i due 
punti d'appoggio con la cubica altri due punti. 
Chè se TT" è una corda della C3, in una collineazione (non degenere) K, ‘in cui 
al punto P sia coniugato un punto della TT", questa dovrà essere coniugata alla corda 
DD' uscente da P, e viceversa; onde i punti P' della F situati su la TT" (e non su 
la C3) sono i coniugati di P nelle due collineazioni K individuate dalle due involu- 
zioni di punti della Cz, determinate luna dalle coppie TD,TD', e l’altra dalla ‘coppie 
ID ILIO, 
Segue da ciò che la cubica C; è aa per la superficie F; ma siccome ogni 
suo punto O è coniugato al punto P non in due collineazioni distinte del sistema ®, 
ma nelle due collineazioni degeneri (0-0), (0'-0') infinitamente poco diverse da loro, 
perciò la cubica Cz è curva doppia cuspidale per la F. 
La superficie F possiede altre linee multiple. 
La corda DD'=c della cubica 03, uscente da P è tripla per la F, chè se P, 
è un suo punto arbitrario, e se Q,Q' sono i punti che dividono armonicamente le coppie 
PP,,DD', i raggi di osculamento /,772,7 uscenti dal punto Q e i raggi ad essi coniu- 
gati 2,1," (che passano pel punto Q') determinano tre collineazioni K : (2-21), (12-21), (n-2) 
del sistema X (involutorie con la (DD')), in ciascuna delle quali al punto P corri- 
sponde il punto P,, sicchè questo sarà triplo per la Fs, la quale perciò avrà per retta 
tripla la e. 
