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Il punto P' della e, che è coniugato al punto P rispetto alla cubica, è coniu- 
gato a P oltre che nelle tre collineazioni K, determinate come sopra, anche nella: 
collineazione (D-D') del sistema X, e quindi è quadruplo per la superficie F. 
Ri tre raggi di osculamento d', e", /" (= P'A', P'B'’, P'C') uscenti da esso (e perciò 
situati nel suo piano polare nella correlazione H) sono doppî per la superficie. Chè 
se P, è un punto di uno di questi raggi, p. es. di d', una delle tre collineazioni K 
del sistema X, di cui la PP, è raggio unito, è la collineazione (d-d'), onde nelle altre due 
(fra loro involutorie, e involutorie con la (4-4), ($3)) le 4, d' saranno fra loro con- 
iugate, e quindi in ciascuna di esse il punto P, sarà coniugato al punto P, sicchè P, 
sarà doppio per la superficie F, della quale perciò le tre rette d', e, /' saranno doppie. 
Lo stesso può dedursi considerando le coniche della F; situate nei piani oscu- 
latori @‘, 8,7" della C3, che passano pel punto P. 
La conica, p. es., luogo dei punti coniugati al punto P nelle collineazioni K, in 
cui sono coniugati i piani @,@', si riduce ad una retta da contarsi due volte, poichè 
la corrispondenza proiettiva fre le tracce dei piani osculatori, che la determina, ri- 
sulta in questo caso involutoria, giacchè le due tangenti unite (@'@ =, «' @) della cor- 
rispondenza risultano separate armonicamente dalle due tangenti corrispondenti @' f, @'y, 
essendo armonico il gruppo dei quattro piani @,@'8,y ($ 2). 
5. Tutto il sistema £ delle collineazioni armoniche K, che noi consideriamo, si 
muta in sè stesso in una qualsiasi di tali collineazioni. 
Perciò se consideriamo le tre collineazioni del sistema nelle quali il punto P 
è coniugato a sè stesso: le collineazioni (4-0), (e-e) (f-7'), in una qualsiasi di esse ad 
un punto P, della superficie F; (che corrisponda al punto P nella collineazione K,) ha 
da essere coniugato il punto P', coniugato a P nella collineazione K," di X, che cor- 
risponde alla K, nella collineazione che si considera; e siccome P', è anche esso un 
punto della superficie F, perciò questa si muta in sè stessa in ciascuna delle tre col- 
lineazioni armoniche (4-4), (e-e5,), (f-70). 
6. La superficie F_ da noi ottenuta può anche riguardarsi come il luogo dei poli 
del piano 7#7= ABC (che corrisponde al punto P nella correlazione di osculamento H) 
nelle correlazioni polari ZZ/=(K-H), nelle quali la cubica Cz è polare a sè stessa ($ 1). 
Invece la superficie di 6% classe ® coniugata alla F nella correlazione H, è l'invi- 
luppo dei piani polari del punto P nelle correlazioni polari ZZ ora accennate. 
Noi indicheremo costantemente con £X; il sistema di tali correlazioni polari. 
Esse sono riferite univocamente alle collineazioni armoniche del sistema X, che com- 
binate con la H le producono. 
Ora noi possiamo rappresentare le corrispondenze dei due sistemi sui punti di 
un piano. 
A ciò supponiamo stabilita una corrispondenza proiettiva fra i punti della cubica 
gobba Cz e quelli di una conica C,, e nel piano w di questa conica assumiamo come 
immagine di una collineazione K del sistema X (o della corrispondente correlazione 
polare (K-H) del sistema Xx) il polo dell’involuzione di punti della C,, che corrisponde 
all’involuzione di punti della C; determinata dalla K; con che viceversa ad ogni punto 
del piano w corrisponde un’ unica collineazione K del sistema X (o un' unica corre- 
lazione Z/=(K-H) del sistema X}). 
