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I punti della C, sono le immagini delle corrispondenze degeneri del sistema ® (0 tp 
quelle del sistema X;); e a due punti coniugati rispetto alla C» corrispondono due colli- 
neazioni K fra loro involutorie (o due correlazioni Z7 fra loro involutorie iperboloidiche). 
Da questa rappresentazione si può dedurre quella della superficie F, dovuta ad 
un qualsiasi punto P. 
Basta a ciò assumere come immagine di ciascun punto X della superficie F_quel 
punto X, del piano w, che è l’immagine della collineazione del sistema 2, nella quale 
il punto P ha per coniugato il punto X. 
Occupiamoci brevemente di tale rappresentazione. 
I punti fondamentali di essa sono i punti A, B,, C, della conica C;, che corrispondono 
ai punti A,B,Cdella C3, situati nel piano polare del punto P nella correlazione d’oscula- 
mento. Essi infatti sono immagini delle tre collineazioni degeneri (A-A),(B-B),(C-C) 
del sistema x, e quindi sono immagini delle rette 4,d,c della superficie F, tangenti 
alla cubica nei punti A,B,C, le quali corrispondono per intero al punto P in quelle 
tre collineazioni degeneri ($ 4). 
Se A/';,B1,C" sono i punti della conica C, coniugati armonicamente ai punti 
A.,B,C rispetto alle tre coppie BC, CA, AB, le tre coppie AA’, BB", CO" appartengono 
ad un’ involuzione, che corrisponde all’involuzione della €, di cui sono punti doppî 
i punti di appoggio D, D' della corda e della cubica passante per P_($ 2); e siccome 
le collineazioni del sistema X, in cui il punto P ha per coniugati i punti della corda € 
sono involutorie con la collineazione (D-D') del sistema ($ 4), perciò la retta tripla 
c della F ha per immagine l’asse 0, d'omologia dei due triangoli omologici A,B,C,, 
ABC, il quale è anche l’asse di omologia di uno di questi triangoli e del 
triangolo delle tangenti alla conica C, nei vertici di esso. 
I punti di questa retta 0, si distribuiscono in terne, di cui ciascuna è l'immagine 
di uno stesso punto della retta c della F. 
I punti di una stessa terna sono poli di tre involuzioni di punti della conica C,, 
nelle quali al gruppo di punti (A, B,C,) è coniugato lo stesso gruppo di punti (Ao Bo Co), 
sicchè ognuna di queste terne è composta di tre punti proiezioni dei punti A,,B,, Ci 
da uno stesso punto della conica C.. 
Infine le tre rette doppie della superficie F_ contenendo i coniugati del punto P 
nelle collineazioni K del sistema X involutorie con le collineazioni (A-A'), (B-B'), (C-C") 
rispettivamente, avranno per immagini le rette A, A',, BB, CC, di ciascuna delle 
quali ogni coppia di punti coniugati rispetto alla conica C, sarà l’immagine di un 
punto della corrispondente retta doppia della superficie F. 
Ne sussegue che le immagini delle sezioni piane della superficie dovranno pas- 
sare semplicemente per i punti fondamentali A,,B,,C,, dovranno segare la retta 0, 
in tre punti di una stessa terna e segare ciascuna delle rette A, A", B, Bi, 0,07 in 
una coppia di punti coniugati rispetto alla conica C, (oltre che nei punti A,,B,, ©, 
rispettivamente) sicchè tali immagini saranno delle curve di 3° ordine (1). 
(1) Noi possiamo da ciò dedurre che le sezioni piane della superficie F_ sono di 6° ordine e 
di genere 1, e che quindi su la Fs, oltre la retta tripla e le tre rette doppie, vi deve essere un’ulte- 
riore linea doppia di 3° ordine, che non può essere diversa dalla cubica Cz. E che questa sia cuspidale 
si deduce dal fatto che i punti di essa hanno per immagine sul piano «i singoli punti della conica C., 
