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nove superficie che passano per due punti, o che toccano due piani, 
o che passano per un punto e sono tangenti ad un piano dato; ve ne 
sono dodici, che toccano una data retta e passano per un punto o toc- 
cano un piano dato, e ve ne sono sedici, che toccano due rette date. 
9. Le generatrici delle superficie di secondo grado del sistema I (rispetto alle 
quali la cubica data è polare reciproca a sè stessa) sono in notevoli relazioni con la 
cubica gobba. 
Sia F una superficie del sistema, che sia la superficie fondamentale della cor- 
relazione ZZ4=(K,-H) del sistema X.. 
Un sistema rigato della F è costituito dai raggi uniti della correlazione H appog- 
giati a gli assi dA, d> della K,; d'altro sistema rigato è costituito invece da coppie 
di rette coniugate sia nella correlazione H che nella collineazione Ko. 
Perciò due rette di una qualsiasi di queste coppie sì appoggiano a quattro tan- 
genti della cubica C3 costituenti un gruppo, che è coniugato a sè stesso nella Ko. 
E siccome due di queste tangenti sono quelle che toccano la cubica nei punti di ap- 
poggio degli assi d1, 4, della K,, (le quali sono raggi uniti di questa) perciò le altre 
due risultano coniugate in essa, e quindi i loro punti di contatto separano armoni- 
camente i punti di contatto delle prime due tangenti. 
Viceversa se una retta 7 (e con essa la sua coniugata 7° nella H) si appoggiano 
a quattro tangenti della cubica data, i cui punti di contatto costituiscono un gruppo 
armonico, esse rette 7,7 si trovano su due iperboloidi del sistema I fra loro involutorî. 
Chè se infatti L, M, N, P_ sono i punti di contatto in parola, in ciascuna delle 
due collineazioni K: (L-M), (N-P) (che risultano involutorie, essendo armonico 
il gruppo (LMNP)), le 7,7" sono fra loro coniugate, onde esse risultano raggi uniti 
delle correlazioni polari Z7, dovute a queste due collineazioni K. 
Possiamo dunque affermare che: 
Il complesso delle generatrici degli iperboloidi, rispetto ai 
quali una cubica gobba 0; è polare reciproca a sè stessa, è costi- 
tuito dal complesso dei raggi uniti della correlazione di oscula- 
mento della C;} e dal complesso delle rette, che si appoggiano a 
quattro tangenti della 0, di cui i punti di contatto costituiscono 
un gruppo armonico. 
Per ognuna di queste rette passano, come abbiamo visto, due iperboloidi del si- 
stema I fra loro involutorî. Invece per ogni raggio unito « della correlazione H di 
osculamento passano tre iperboloidi del sistema I a due a due fra loro involutorî. 
Essi sono le superficie fondamentali delle correlazioni polari del sistema X, dovute 
alle tre collimeazioni K,, K3 K3 del sistema X, le quali hanno per raggio unito il raggio 
u, che si considera. 
Dette superficie hanno ulteriormente in comune il secondo raggio unito della H, 
che trovasi sull’iperboloide contenente gli assi delle K,,K>,Ks, nel sistema opposto 
a quello di questi assi. 
Dalle cose su esposte segue ancora che se si considera nello spazio un punto 
arbitrario A ed un piano @ passante per esso, delle nove superficie del sistema I, 
che passano per A e toccano il piano «, tre sono quelle che passano pel raggio 
