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Alcune applicazioni della teoria generale delle curve polari. 
Memoria del Socio RICCARDO DE PAOLIS 
letta nella seduta del 20 giugno 1886. 
1. Un cenno sulle curve armoniche 
e sulla teoria generale delle curve polari. 
1. Indicheremo sempre con C,,7, due curve di ordine 7 o di classe 7, e con : 
UV 
le loro equazioni. 
L'espressione 4, è l'armonizzante di C,,T,, invariante simultaneo delle forme 
dx, a e lineare nei coefficienti di ciascuna. Le curve C,,7, si dicono armoniche 
quando è: 
GUe=0) 
2. Se a-:=0 è una tangente di «=0, 0 va=0 è un punto di 4,°“= 0, dob- 
biamo avere ax°=0; ma ax è l’ armonizzante di v,° e della potenza n° di 4, 
o di 4,” e della potenza 7° di uy, dunque: 
I. Una curva di classe x è armonica rispetto ad una retta con- 
tata n volte quando la retta è una tangente della curva, e viceversa. 
II. Una curva di ordine x è armonica rispetto ad un punto con- 
tato x volte quando il punto appartiene alla curva, e viceversa. 
Se poniamo 2=1 troviamo che un punto è armonico rispetto ad una retta quando 
la retta passa per il punto. e viceversa. 
8. I. Se una curva di classe n, 0 diordinez,è armonica rispetto 
ad 7-1 curve di ordine 2, odiclasse x, è armonica rispetto atutte 
quelle del sistema lineare 00” che esse individuano. 
Ponendo: 
Neo) 
possiamo dire che: 
II. Ogni sistema lineare co”, di curve di ordine n o di classe #, 
ne individua un altro coN9=, di curve di classe 7 o di ordine 7, in 
modo che tutte le curve diciascun sistema sono armonicherispetto 
a tutte quelle dell'altro. i 
Diremo associati due sistemi lineari che godono di questa proprietà. 
JARUnisisittemia tina mec NG =1 dileurve di ordine zio di l'asse 
n, è associato ad una sola curva, di classe 20 di ordine 7, armonica 
) 
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