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rispetto a tutte quelle del sistema, e che è l’inviluppo delle rette 
contate 2 volte, o il luogo dei punti contati x volte, che apparten- 
gono al sistema. 
Ne segue che: 
IV. Due curve, una di ordine x e l’altra di classe x, sono armo- 
niche quando la prima appartiene al sistema lineare c0N®-1 indi- 
viduato da un gruppo generale di N (x) tangenti della seconda, cia- 
scuna contata x volte, e quindi la seconda appartiene al sistema 
lineare co0%®-! individuato da un gruppo generale di N(2) punti 
della prima, ciascuno contato x volte, o viceversa. 
Si potrebbe scegliere la proprietà enunciata in questo ultimo teorema per definire 
geometricamente le curve armoniche (1). 
4. Se m<n, tutte le curve Z,_, che insieme ad una stessa 7, sono armoniche 
rispetto ad una data C,, costituiscono un sistema lineare coN#-M-1 associato ad 
una curva P,., (3, III), che chiameremo polare di 7, rispetto a C,. 
Essendo : 
Ue), =0, 
le equazioni di Y,,C,, l'equazione di P,-m è: 
Coat) 
Analogamente, rispetto ad una curva di classe 7, ogni curva di ordine m< 7% in- 
dividua una polare di classe n—m. 
Se im è il massimo multiplo di 72 minore di 7%, essendo 7 intero e positivo, 
possiamo contare la 7,, successivamente 1, 2, 3,..., Z volte, allora abbiamo # curve 
polari successive che indicheremo con: 
le = ’ P,rom 9) 000 9 Le IDO 
(1) Battaglini, in alcune Memorie (Sulle forme binarie di terzo grado; Sulle forme binarie 
cubiche; Sulle forme binarie di quarto grado; Sulle forme binarie biquadratiche; Sulle forme bi- 
narie biquadratiche in involuzione, R. Accademia di Napoli), pubblicate fino dal 1864, considera 
l’armonizzante di due forme bimarie cubiche o biquadratiche, ed i sistemi lineari associati che con 
queste forme si possono costruire. Più tardi, nel 1867, in un’altra Memoria (Sulle forme binarie di 
grado qualunque, R. Accademia di Napoli) definisce l’armonizzante di due forme binarie di grado 
qualunque, la involuzione (r—-1)-pla di grado n, o forma sizigetica, cioè il sistema lineare oo *-1 
di forme binarie di grado x ed i sistemi lineari associati. Ne trova poi le principali proprietà e 
ne fa una applicazione alla espressione delle forme binarie con una somma di potenze di forme bi- 
narie lineari. Questi ed altri importanti risultati sono stati estesi, dallo stesso Battaglini, alle forme 
ternarie (Sulle forme ternarie di grado qualunque. R. Accademia di Napoli) nel 1868. 
Ordinariamente si attribuisce a Rosanes il merito di avere introdotto ed utilizzato, nelle quistioni 
geometriche, il concetto di forme armoniche; però le citate ricerche di Battaglini, che meriterebbero 
dì essere maggiormente conosciute dai Geometri, sono anteriori a quelle di Rosanes, il quale, sola- 
mente nel 1872, in una piccola nota alla sua Memoria: Veber die Darstellung binirer Formen als Po- 
tenzsummen (G. di Crelle, vol. 75) parla dell’armonizzante di due forme binarie, senza distinguerlo 
con un nome speciale, considerandolo come un invariante simultaneo il cui annullarsi è condizione 
necessaria e sufficiente perchè ciascuna delle due forme binarie possa esprimersi con una somma di 
potenze dei fattori lineari dell’altra. In una Memoria posteriore: Weber ein Princip der Zuordnung 
algebraischer Formen (G. di Crelle, vol. 76), pubblicata nel 1873, Rosanes considera le forme ar- 
moniche con p variabili, chiamandole coniugate, e deduce i principali teoremi relativi ai loro sistemi li- 
neari, teoremi che costituiscono una generalizzazione di quelli di Battaglini, relativi alle forme ternarie. 
