essendo rispettivamente : 
n_-m,in_—2Mm,... Nn_-1M 
i loro ordini. 
Se m=1 abbiamo /=n—1 e troviamo le n—1 polare successive ordinarie 
di un punto rispetto alla data curva di ordine 7. Possiamo anche supporre che la 
si spezzi in più punti, ciascuno contato un certo numero di volte, allora nascono le 
ordinarie polari miste del gruppo di punti. 
5. Applicando convenientemente le proprietà enunciate è facile dedurre che: 
I. La polare di 7, rispetto a C, è il luogo dei punti che contati 
n_-m Volte insieme a 7, dànno una linea di classe x armonica ri- 
spetto a ©, (3, III). 
II. La polare di 7, rispetto a €, è il luogo dei punti le cui po- 
lari di ordine 7 sono armoniche rispetto a ,. 
UI. Se due curve Y,,7,, insieme prese, sono armoniche ri- 
spetto ad una Cnyn, ciascuna è armonica rispetto alla polare del- 
l'alba, 
IV. Le polari di tutte le curve di uno stesso sistemalineare 00”, 
contate una sola volta, prese rispetto ad una stessa curva, formano 
pure un sistema lineare co” proiettivo al primo. 
V.Le polari di una stessa c rva, contata una o più volte, prese 
rispetto a tutte quelle di un sistema lineare co”, formano pure un 
sistema lineare co” ad esso proiettivo ('). 
6. La curva I, sì dice apolare rispetto alla C,, quando la sua polare P,.;m 
è indeterminata, cioè quando è identicamente nulla l'espressione: a,” a". Se la 
T,, è apolare i coefficienti di vx” devono soddisfare N(2—m)+1 equazioni lineari 
omogenee, ed affinchè ciò sia possibile, per una ©, generale, deve essere: 
N(MmM=NM-m+1, 
OVVero : 
2mn+3)=(+4+1)@+-2). 
I. Se: 2m(n+3)=@-+1)(+2), esiste un sistoma lineare 
SPERO i o 2 polari is poso a (0 
Se è indeterminata la polare di ordine v—m di un dato punto, presa rispetto 
a C,, il punto è multiplo secondo #7—m4+-1 per la C,, dunque: 
II. Un punto contato m volte è apolare rispetto ad una data 
curva di ordine 7, se per essa è multiplo secondo a—m+-1, e vi- 
ceversa. 
7. Dalla definizione stessa di curva apolare si ha subito che: 
I. La T,, è apolare rispetto a 0, se insieme ad una qualunque 
Tm è armonica rispetto ad essa, e viceversa. 
(1) La teoria delle polari, così generalizzata, è dovuta a Clifford (On a generalization of the 
theory of polars, Proceedings of the London Mathematical Society, vol. II, 1868, ovvero : Mathema- 
tical Papers, London, Macmillan and Co. 1882) ed a Reye (7rdgheits und hòhere Momente eines 
Massensystemes in Bezug auf Ebenen, Crelle, vol. 72, 1870. Erweiterung der Polarentheorie alge- 
braischer Flichen, Crelle, vol. 78, 1874). si 
