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Se si tratta di un gruppo apolare di 2 —1 punti, dei quali x —2 coincidono 
in M, mentre il rimanente M, sia distinto da M,, abbiamo che la conica polare 
di M, deve avere un punto doppio in M, e la prima polare di M, deve avere un 
punto doppio in M,, perchè M, contato x —2 volte deve essere apolare rispetto ad 
essa. I punti M,, M, sono punti corrispondenti sulla essiana e sulla steineriana di C,. 
II. È apolare rispetto ad una curva di ordine n ogni punto 
della sua essiana, contato x—2 volte, insieme al corrispondente 
punto della sua steineriana, e viceversa. 
IV. Presi adarbitrion—3 punti di un gruppo apolare, di n1— 1 
punti, gli altri due descrivono una cubica che è la essiana della 
cubica polare degli #—-3 punti presi (9,1, III. 
2. Espressione della equazione di una curva 
in funzione lineare delle equazioni di altre curve. 
10. Affinchè l'equazione diunacurva C, sia una funzione lineare 
delle equazioni dii 4 eunsme Ge 09023. essando 2 SNH() 
è necessario e sufficiente che tutte le curve /, armoniche rispetto 
allo GV Kc x giano aisimonicno migpevvro & Vo 
Supponiamo che tra le 7 curve CC, ,C,©,...,C,4 ve ne siano o = 7 line- 
armente indipendenti, supponiamo cioè che le dette curve individuino un sistema 
lineare S_ 00 1; allora tutte le curve 7, armoniche rispetto ad esse costituiscono 
il sistema lineare associato X, che è co N =? (3, II. l 
Se l'equazione della C, si può scrivere nel detto modo, la C, è una curva del 
sistema S, quindi tutte le 7, di X sono armoniche rispetto a C,. Resta . così 
dimostrato che la condizione enunciata nel teorema è necessaria. 
Supposto poi che la C, sia armonica rispetto a tutte le 7, del sistema X 
naturalmente la C, deve appartenere al sistema lineare associato S, quindi la sua 
equazione deve potersi scrivere sotto la detta forma. Resta così dimostrato che la 
condizione enunciata nel teorema è pure sufficiente. 
11. Il teorema precedente è vero qualunque siano le curve O, , Cn ,..., On, 
anche se sono costituite da una o più parti contate una o più volte. Consideriamo 
particolarmente il caso in cui siano 7 rette, ciascuna contata 7 volte. Allora siccome 
una retta contata % volte è armonica rispetto ad una curva, di classe 7, se la tocca, 
e viceversa (2,1), possiamo dire: 
I. Affinchè l'equazione di una curva C, si possa esprimere con 
unasommadi potenze n°delleequazionidirrette, essendo 7 = N (n), 
è necessario e sufficiente che tutte le curve 7, tangenti alle r rette 
siano armoniche rispetto a C,. 
Un r-latero è la figura costituita da 7 rette comunque prese, i suoi ver/ze? sono 
i punti comuni alle sue rette. Una curva è 7rserziia in un r-latero, che allora è 
circoscritto alla curva, quando essa tocca tutte le rette dell’7-latero. Una curva 
è circoscritta ad un r-latero, che allora è 2useritto alla curva, quando essa passa per 
tutti i vertici dell’7°-latero. Diremo che un 7-latero è armonico rispetto ad una data 
