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Prendiamo un trilatero armonico rispetto ad una conica C,. Ciascun vertice in- 
sieme ad un punto qualunque del lato opposto costituisce una linea di 2% classe 
inscritta al trilatero e quindi armonica rispetto a C.; perciò ciascun vertice deve 
essere il polo del lato opposto (8, I). Viceversa, se ciascun vertice di un trilatero 
è polo del lato opposto rispetto a C., le tre coppie di vertici del trilatero sono ar- 
moniche rispetto a C,, quindi i vertici costituiscono un gruppo coniugato rispetto a 
Ho Gai trilatero è armonico rispetto a C» (13, IV). 
Vi sono 003 trilateri armonici rispetto aduna data conica. Cia- 
scuno dei vertici di un trilatero armonico è il polo dellato opposto 
rispetto alla conica (13, III). 
16. In generale non vi sono 2-lateri nè 1-lateri arnionici rispetto ad una 
data C». Se ve ne fossero l'equazione di una conica generale si potrebbe esprimere 
colla somma di due quadrati o con un solo quadrato, ciò che è evidentemente im- 
possibile, perchè nel 1° caso la C, dovrebbe essere costituita da due rette e nel 2° 
caso da una retta contata due volte. Allo stesso risultato si giunge applicando il 
metodo fin qui seguìto. Il punto comune alle due rette di un 2-latero armonico deve 
essere apolare rispetto alla C, (11, III), cioè doppio per essa (6, II), quindi la C, 
deve spezzarsi in due rette. Due punti presi comunque, uno su ciascuna delle due 
rette del 2-latero, devono essere armonici rispetto a C,, quindi le due rette che la 
costituiscono devono essere separate armonicamente dalle 2 rette del 2-latero, e vi- 
ceversa. 
Se vi fosse un l-latero armonico rispetto a C, ogni punto della retta dell’1-la- 
tero dovrebbe essere apolare rispetto a C,, ossia doppio per essa, quindi la C, sa- 
rebbe costituita dalla retta dell’1-latero contata 2 volte, e viceversa. 
17. I teoremi generali dimostrati nel n. 12, quando si tratta di due trilateri ar- 
monici rispetto ad una stessa conica, che è insieme una curva di 2° ordine e di 2° 
classe, si possono enunciare come segue: 
I. Due trilateri armonici rispetto ad una stessa conica sono cir- 
coscritti ad una stessa conica ed inscritti in un’altra (12, I) (1). 
II. Due trilateri inscritti, o circoseritti, ad una stessa conica 
sono armonici rispetto ad un'altra (12, Il), 
e perciò : 
III. Se due trilateri sono circoscritti ad una stessa conica sono 
inscritti inun’altra, e viceversa (2). 
Da questo teorema si deduce subito che: 
IV. Date due coniche, se vi è un trilatero circoscritto ad una 
ed inscritto all'altra ve ne sono infiniti (8). 
18. I trilateri armonici rispetto ad una data conica C, sono 003, ciascuno dà 
%0? coniche inscritte 72, armoniche rispetto a C,, ma tutte le 77 armoniche rispetto 
a C, sono 004, dunque ciascuna deve essere data da oo! trilateri armonici. 
(1) Steiner, Systematische Entwickelung der Abhingigkeit geometrischer Gestalten von ci- 
nander. Berlin, Fincke, 1832, p. 308; Gesammelte Werke. Berlin, Reimer, 1881, p. 448, Bd. I. 
(®) Brianchon, Meémowe sur les lignes du second ordre, p. 35. Paris, Bachelier, 1817. 
(3) Poncelet, Yraité des propriété projectives des figures, n. 565, 1822. 
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