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coppie di punti di una involuzione i cui punti doppî sono i vertici M,, M;: e M;,M, 
del quadrangolo. 
IT. Vi sono co‘ esalateri armonici, rispetto ad una data curva 
di 3° ordine, le cui 6 rette sono i lati di un quadrangolo ad essa 
coniugato (13, IV). 
22. Pentalateri armonici. 
Chiamiamo R,, Rs», R3, Ri, R; le 5 rette di un pentalatero armonico rispetto 
ad una data C3. La conica 7 inscritta deve essere apolare rispetto a C3. Due ver- 
tici, come R, R», R3 By, non situati sopra una stessa retta del pentalatero, insieme 
ad un punto qualunque della rimanente retta R., che non passa per alcuno di essi, 
costituiscono una / inscritta al pentalatero e quindi armonica rispetto a Cz, perciò 
la R, è polare dei punti R, R,, R3 R, rispetto a Cs. 
I. Se un pentalatero è armonico, rispetto ad una data curva di 
3° ordine, la conica che tocca le sue 5 rette è apolare e 2 vertici, 
non situati sopra una stessa retta del pentalatero, hanno come po- 
lare quella delle sue rette che non passa per alcuno di essi. 
Viceversa supponiamo che la £, sia apolare rispetto a Cz e che la R; sia la 
polare dei punti R, Rs», R3 R4; allora questi 2 punti insieme a due punti comunque 
presi sulla R; e la 7% insieme a tre punti qualunque del piano costituiscono 5 1%, 
linearmente indipendenti, armoniche rispetto a C3 ed iscritte al pentalatero, perciò 
tutte le co47 inseritte al pentalatero sono armoniche rispetto a Cz e rispetto ad 
essa è armonico il pentalatero. 
II. Un pentalatero è armonico, rispetto ad una data curva di 
3° ordine, se rispetto ad essa è apolare la conica inscritta, e se 2 
vertici, non situati sopra una stessa retta del pentalatero, hanno 
come polare quella delle sue rette che non passa peralcunodiessi. 
Le coniche apolari rispetto a Cz formano una rete, per cui una 7°, ed una sola, 
tocca due date rette R,, R.. La conica polare C, del punto R, Rs, rispetto a C3, è 
armonica rispetto a 7°, vi sono dunque co! trilateri circoscritti a 7 ed armonici 
rispetto a C:; siano R3, R,, R; le rette di uno qualunque. Il pentalatero delle rette 
R,,R,,R3, R,, R; è armonico rispetto a Cz. Infatti esiste una conica inscritta 7% 
apolare rispetto a CU e la retta polare dei punti R, R,, R3 Ry è la retta polare di 
R; È, rispetto alla conica polare C, di R, R., cioè la retta R; (22, Il). 
III. I pentalateri armonici, rispetto ad una data curva di 3° or- 
dine, sono 00°; 2 rette prese ad arbitrio appartengono ad co! pen- 
talateri armonici, la conica apolare che le tocca è l’inviluppo 
delle altre 3. 
23. Quadrilateri armonici. 
Se un quadrilatero è armonico rispetto ad una data C; ciascuna conica FT, in- 
scritta nel quadrilatero deve essere apolare rispetto a C;. Due vertici opposti del 
DI 
(1) Caporali, Zeoremi sulle curve di terzo ordine; Teoremi sui fasci di curve del terzo or- 
dine (Acc. dei Lincei, serie 3%, vol. I, 1877). 
