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quadrilatero costituiscono una 7 inscritta, quindi devono essere apolari, cioè punti 
corrispondenti sulla essiana di 03 (9, II). i 
I. Un quadrilatero armonico, rispetto ad una data curva di 
8° ordine, è inscritto nella sua essiana, essendo le coppie di vertici 
opposti punti corrispondenti su di essa. Vi è un fascio di coniche 
inscritte che sono tutte apolari. 
Chiamiamo R,,R., Rs, Ry le rette di un quadrilatero e supponiamo che due 
coppie di vertici opposti, come R, R», R3 R, ed R, R3, R, KR, siano apolari rispetto a 
Cz. Ciascuna di queste due coppie insieme a 3 qualunque punti del piano dà 3 
armoniche rispetto a C3, in tutto abbiamo 6 13, linearmente indipendenti, inscritte 
al quadrilatero ed armoniche rispetto a C3, e perciò rispetto ad essa è armonico il 
quadrilatero. 
II. Se due coppie di vertici opposti di un quadrilatero sono 
punti corrispondenti sulla essiana di una data curva del 3° ordine, 
anche quelli della terza coppia sono punti corrispondenti sulla 
essiana e il quadrilatero è armonico rispetto alla data curva di 
3° ordine. è 
Per costruire un quadrilatero armonico rispetto a Cz basta prendere ad arbitrio 
una R, delle sue rette. Siano M,,M,,M3} i punti in cui la R, incontra la essiana 
di €; e siano M,°, M,, My i punti corrispondenti sulla essiana. Le due coppie di 
punti corrispondenti M,,M,; M,, My sono vertici di un quadrilatero armonico, uno 
dei suoi lati è R,, gli altri siano R., R3, Ry. I vertici opposti della terza coppia, 
dovendo pure essere punti corrispondenti sulla essiana, saranno i punti M}, My. 
III. Vi sono 00? quadrilateri armonici, rispetto ad una data 
curva di 3° ordine, 3 punti della essiana, posti in linea retta, ed i 
3 punti corrispondenti su di essa sono vertici di un quadrilatero 
armonico ('). 
Dovendo essere apolari rispetto a Cz tutte le coniche inscritte in un quadrila- 
tero armonico, se prendiamo ad arbitrio una delle sue rette abbiamo un fascio di 
coniche apolari che la toccano, le altre tre rette del quadrilatero sono le altre tan- 
genti comuni a tutte le coniche del fascio. 
IV. Data una curva di 3° ordine, tutte- le coniche apolari che 
toccano una retta qualunque ne toccano altre 83 che insieme ad 
essa costituiscono un quadrilatero armonico. 
24. Trilateri armonici. 
Non vi sono trilateri armonici rispetto ad una generale C3. Infatti se ne esi- 
stesse uno ciascuno dei suoi vertici insieme ad un punto qualunque del lato opposto 
dovrebbe costituire una coppia apolare rispetto a C,, cioè una coppia di punti corri- 
spondenti sulla essiana di C3, la quale essiana dovrebbe per conseguenza ridursi 
alle 3 rette del trilatero. È poi noto che ciò avviene solamente quando è nullo 
l’invariante S di 03, cioè quando la C3 è equianarmonica. 
(1) Le proprietà di questi quadrilateri, inscritti nella essiana di una curva del 3° ordine, 
sono notissime (vedi p. es. Cremona, Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, n. 134). 
