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Rappresentazione della corrispondenza (1,2) su d'una conica. 
Si pongano, in un piano, una conica fissa C, e due fasci di raggi tra loro proiet- 
tivi, dei quali uno abbia il centro «(!) su ©., L'altro l'abbia in O dovunque, ma 
non su ©,. Tali fasci saranno indicati o con le sole lettere dei loro centri e ed O, 
o con le notazioni () ed (0), o infine con le altre #(Zpu»..) ed O(4'w''....), dove 
Zuv..., 4 wo... sono punti di C, che giacciono su altrettanti raggi di quei fasci. 
Se un raggio qualunque del fascio e sega C, in un punto 7, il raggio del fascio O 
corrispondente ad #7 la segherà in due punti &&” (punti È), reali o immaginari, cor- 
rispondenti al punto ». Viceversa ad uno dei punti $ corrisponde quell'unico punto 7, nel 
quale C, è intersecata dal raggio corrispondente, nel fascio e, al raggio 0É = 0 = 0£” 
del fascio (0). Perciò i punti # e £ formano sulla conica una corrispondenza (1, 2) 
= (2, 1). 
Intendendo poi che le lettere €, 7.... rappresentino anche le coordinate binarie 
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fo Me 
come è noto, è possibile in infiniti modi), tra esse coordinate, o parametri, esisterà 
una relazione algebrica della forma 1), cioè 
ag en=0 (È). 
Le coppie & È" essendo sempre allineate con O determinano un’ involuzione qua- 
dratica su C., i punti doppi della quale sono i punti di contatto di €. con le tan- 
genti uscenti da O, e sono rappresentati dall’'equazione £:° — 0. Chiameremo punti 
o o'",0 brevemente punti ©, sì fatti punti doppi, o la retta che li unisce; e diremo 
pure tangenti w' @”, o tangenti @, le tangenti nei punti @. 
La retta o è sempre costruibile; essa è polare del punto O rispetto a C.. 
Supponiamo per ora reali i punti ©. In tal caso i raggi del fascio e corrispon- 
denti ai raggi 0a", 00" intersecano la C, nei punti 0'6" forniti dall’equazione O,}=0. 
i quali, per l'ipotesi fatta intorno ai punti è, sono reali. — Che se i punti w sono 
immaginari, tali saranno altresì i punti 9. Ma in seguito vedremo come si possa 
costruire la retta reale £ sulla quale essi giacciono. Intanto l'essere insieme reali o 
immaginari i punti @ ed i punti 0 è la prova geometrica che i due invarianti (00°)? 
e (00)? sono eguali (eq.° 14). 
La corrispondenza (1,2) sulla C, può ammettere anche elementi v77, cioè punti 
tali che in essi coincida un punto » con uno dei punti £ corrispondenti. Questi punti ‘ 
sono dati algebricamente dall’equazione 
dtoer=gg=0 (per £=mn=@). 
Questi punti, che d'ora innanzi dinoteremo con @,8,y(3), geometricamente si 
trovano così. I due fasci proiettivi O ed e generano una conica C', passante per O 
-- in una rappresentazione razionale parametrica dei punti di ©, (ciò che, sic- 
(1) Possibilmente, noterò con lettere greche i punti di €. 
(2) Più tardi ($ 7) vedremo come si possa trovare siffatta relazione. 
(3) Non è a temere confusione, nell’adoperare, per indicare i punti g?g=0, le lettere stesse 
«,8,7 che entrano invece come simboli nell’equazione 4°£ an=0?£fn==l%&yn= 
