In forza delle costruzioni precedenti i punti 7 ed i punti 4 formano due serie 
proiettive (in involuzione), perciò i fasci #(7.,..) ed #(4....) sono proiettivi (in invo- 
luzione) tra loro ed al fascio O (£....). I due fasci #(4....) ed O(£....) generano una 
conica che taglia su C; i tre punti v2/ della corrispondenza 19) forniti dall’equazione 
20) (ap) arw=0 (per 54=È). 
Ognuno di questi punti w7% adunque sarà a considerarsi tanto come punto 
quanto come. punto 4; il punto # che gli corrisponde sia nell’involuzione sia nella 
corrispondenza @°?z @,="0 formerà insieme ad esso una coppia comune all’ involuzione 
ed alla corrispondenza. Perciò vi sono tre di tali coppie. 
In altri termini la 20) è il risultato dell’eliminazione di » tra le due (che deb-* 
bono valere per una coppia comune) WwWn= 0, @°@n=0. Eliminando invece & si 
trova, introducendo il simbolo y' equivalente a +, 
o=2 (Ap) (AV) prWnen= (AME VE (AV at — (PU) dt | n * 
— 2 (aper (MP 93. 
Ponendo w= £, l’ultima equazione per la 17) si riduce a gf = 0, mentre la 20) 
coinciderà con la 18), ed il punto U e la retta % diverranno O ed o. 
Tornando ai punti uniti «, #,y, essi, come dicemmo, sono o tutti e tre reali, 
ovvero uno solo è reale. Nell'ultimo caso, costruito il punto reale, si potrà, come 
insegna la geometria proiettiva, costruire la retta reale che contiene la coppia dei 
punti immaginari coniugati (1). 
La determinazione grafica di questi punti uniti è tanto importante, quanto quella 
de due punti uniti in due forme proiettive sovrapposte (cioè in corrispondenza (1,1)); 
tanto che mediante il loro uso l'ulteriore costruzione della corrispondenza (1,2) si 
può semplificare. 
Infatti il fascio O essendo proiettivo al fascîo «, e questo prospettivo alla serie 
de’ punti ), sarà anche (0) proiettivo a quella serie. D'altra parte proiettando la serie 
7 da un altro punto #' di ©,, il fascio # sarà proiettivo al fascio e. Onde per co- 
struire la corrispondenza (1,2) si potranno assumere anche i due fasci proiettivi (0) 
ed (+) (©). 
Poniamo ora il punto «' in uno dei punti «’, 8', 7, in @' per es. Le terne di 
raggi che individuano la proiettività saranno in tal caso 0(@8y) ed (87). Ma i 
due raggi 0@ ed &'« coincidono, essendo per diritto i punti 0, @ @'; dunque i due fasci 
(0) ed (@’) sono prospettivi e generano con le mutue intersezioni dei loro raggi la 
punteggiata Py. Adunque (e questo è l'importante) dati i tre punti uniti @,f,y 
della corrispondenza (1,2) ed il centro 0 fuori di C,, possiamo 
costruire la corrispondenza in tre modi per mezzo di fasci prospet- 
tivi, prendendo il.centro s in uno dei tre punti a’, #8, y°. 
Se, contemporaneamente a 8Y, i punti $'y diventano immaginari, la costruzione 
precedente si potrà effettuare in un sol modo reale: il centro &' sarà reale e la retta 
By sarà pure reale e costruibile come fu cennato innanzi. 
(1) Cremona, Geometria protettiva n. 176. problema Db). 
(£) Con ciò naturalmente varierà la conica €, poichè la nuova €’, è individuata da' 5 punti 
O«pye . Tutte le ©" formano un fascio i cui punti-base sono 0, @, 8,7. 
