La corrispondenza (1, 2) coniugata. 
Alla corrispondenza (1,2) definita dall’equazione 1) f/==0 è congiunta un'altra 
corrispondenza che ha con la prima importanti relazioni algebriche e geometriche. 
Siano 7 e #&" tre punti della corrispondenza /=0. Le coppie w'w", & È" 
individuano un involuzione quadratica, gli elementi doppi della quale saranno i punti 
dove C, è segata dalla polare dal punto comune alle due rette o='@" ed a= Sé". 
La forma algebrica che fornisce i punti doppi sarà il jacobiano delle due forme £2°*=0 
ed az:°a,=0, il quale scriverò per ora col parametro È. Così. 
21) F=F(,9))= (00) a Qxan= A? An=B® B,= C&In=0. 
Chiamerò &" i punti forniti dall’equazione 21) quadratica in é, ovvero anche 
dirò punti $ o coppie <, ed indicherò con e la retta su cui essi giacciono. 
I punti È ed » legati dalla 21) sono in corrispondenza (2, 1). 
La retta < su cui giace la coppia £ essendo polare del punto 0. della retta 0, 
passa pel polo O di o. Perciò tutte le coppie é sono allineate con O e formano 
un'involuzione quadratica su C,. Inoltre la retta e è coniugata di 4 rispetto a C., 
poichè il polo di 2 giace sopra #. Adunque le infinite coppie £ e le infinite coppie 6 
(corrispondenti ad uno stesso punto 7) sono sopra rette a due a due coniugate rispetto 
a C.. Segue da ciò che gli elementi doppi dell’involuzione costituita dalle coppie € 
sono gli stessi elementi forniti dall’ equazione 2:22 = 0. 
Abbiamo veduto come, dato », si determini la coppia (é). Viceversa dato un 
punto é della coppia (é) si può determinare 7, trovando il raggio «7 che nel fascio (e) 
corrisponde al raggio x, del fascio O, coniugato al raggio e che contiene il punto È. 
Di qui segue che i due punti ai quali, nella corrispondenza F=0, corrispondono gli 
elementi doppi 0" sono gli stessi punti 0/6” forniti dall’equazione ®,° = 
Adunque le due corrispondenze /=0 ‘ed F=0 ammettono gli stessi 
punti doppi e gli stessi punti di diramazione. 
Questa è la prova geometrica del fatto, che più tardi sarà dimostrato, che le 
forme 2, e ©, calcolate per la forma F differiscono per un fattore costante da £ 
e da 0. 
La figura che risulta dalle costruzioni precedenti è costituita da due raggi O£, OÈ 
del fascio O coniugati rispetto a Cs e dal punto corrispondente a £ nella corrispon- 
denza f==0, mentre poi tra & ed @ si ha la relazione F=0. 
Considerando poi é come punto & ad esso corrisponderà un punto 27, per modo 
che varrà l'equazione 
22) Pecoe=0 o 
Si hanno in tal modo le seguenti coppie di fasci proiettivi: O (£....) ed £(7....), O(Î....) 
ed «(1,...). Ma i due fasci O(£...) ed O(î...) sono in involuzione perchè le rette 
w== 0£..., «== 0Î... sono coniugate rispetto a C.; dunque anche i fasci concentrici 
£(7...) ed (1...) sono in involuzione, ed i raggi #7), e/ sono in essa coniugati. Con- 
seguentemente le coppie 7 sulla conica Cs costituiscono un’ involuzione; e però le 
rette n passano per un punto fisso T. 
