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dunque 
29) — 2F° = 02? | Df?. 
$ 4. 
Forme protettive ed in involuzione contenute nella corrispondenza f= 0. 
Ecco alcune altre considerazioni, che tolgo in sostanza dalla citata Nota del 
prof. Battaglini, ma che adatto, sviluppandole di più, alla forma ed allo scopo delle 
mie ricerche attuali. 
I parametri Zw di una coppia coniugata armonica rispetto alla coppia £ fornita 
dalla relazione 4°: @n="0 (per , dato) soddisfano all’ equazione 
30) ae =0, 
e formano un’ involuzione i cui punti doppi sono i punti della coppia £ suddetta. 
Questa coppia. reale o immaginaria, giace sempre sopra una retta reale 4 del fascio 0 
che si sa costruire: le coppie Zu poi, anch’ esse reali o immaginarie, sono situate 
sui raggi del fascio che ha per centro il polo X di x rispetto a ©;. 
Tenendo fisso uno dei punti Zu, per es. 4, le coppie x che soddisfano la 30) 
che indicheremo allora con la forma bilineare 
31) Pottn= n 0n= 0, 
costituiscono due serie proiettive di punti su C,, e si costruiscono nel seguente modo. 
Dato il punto 4 si trovi nel fascio O il raggio 4 = 0 corrispondente al rag- 
gio «7 del fascio e. La congiungente il polo X di + col punto fisso 4 incontra la ©, 
nel richiesto punto w. Viceversa per trovare il punto » corrispondente al punto dato 
su, sì meni la retta Zw esi cerchi l'intersezione X di essa con la retta o. La polare 4 
di X sarà una retta del fascio O, ed avrà per corrispondente nel fascio e una retta 
che segherà la conica nel richiesto punto ». 
Costruendo in tal maniera tre coppie 0%0, #7; #27 di punti corrispondenti, 
sì troverà poi la coppia degli elementi uniti delle due forme proiettive, rappresen- 
tata algebricamente dall’equazione 
32) pr=aa4yay= 0, 
costruendo, com’ è noto, la retta Pascal relativa all'esagono semplice wo, 27017: 
(in quest'ordine). Questa retta é sempre reale e costruibile linearmente. 
Che i punti n costituiscono ‘due forme proiettive sulla €, si vede, oltre che 
dall’equazioni 30) o 381), geometricamente osservando che, per la costruzione stessa 
precedente, il fascio (4) è prospettivo sia alla €. sia alla punteggiata (0). A questa 
punteggiata è forma proiettiva il fascio delle polari # dei suoi punti X, ed a questo 
fascio è proiettivo, per l'ipotesi fondamentale, il fascio (e), ch’ è poi prospettivo alla 
conica. Perciò i fasci (4) ed (e) sono proiettivi ed incidono sulla €, due serie proiet- 
tivi di punti; come si voleva dimostrare. 
Di qui si vede che i punti uniti si possono ache ottenere cercando le altre due 
intersezioni (oltre 4 ed e) di C, con la conica individuata dai due fasci proiettivi 
(4) ed (e). La retta reale che contiene, realmente o immaginariamente, le due inter- 
sezioni è sempre costruibile, come fu ricordato nel $ 2. 
