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Di qui si traggono le : 
33) (10) ina, = (2° — ©) che sarà utile in seguito ('). 
| M=:(9°+ 9°); 
e pel iacobiano richiesto l’ espressione 
34) (Um) Im = AH O 
che si trova nella Nota citata del Battaglini. Dalla forma della 34) si deduce che 
la coppia da essa rappresentata appartiene all’ involuzione individuata dalle coppie 
Q2=-0 e ®©=0; perciò s passerà pel punto 0.4. 
Per avere poi i valori di Z per i quali i punti » dell’involuzione 44 @,= 0 
coincidono, si deve annullare il discriminante di questa forma quadratica in v. Posto 
fp =TE=INAA 
(an)? = a (ar) (en) = ab} (5) (28) + (08):(22) { 
e, ricordando che 
(ab) (a8) = («8) (ab) — (ae)(0£), 
35) (Ml =Q-1098= 
Le serie proiettive definite dalla forma bilineare 
si trova 
PuTln = P'uaTtl'n= 0 dp x 
sono in istretta dipendenza dalla posizione del punto 4. Per riconoscere l'influenza 
di questo punto, giova ricordare che la funzione p, 77 ammette gl'invarianti (1° =p,7,) 
36) ie=(M0)Ps r=(pp)(mw), ki (pa) €) 
Il primo invariante fu trovato poc'anzi: esso fornisce appunto due punti 4 pei 
quali la forma 7,° diviene un quadrato perfetto, ed in generale fa giudicare della 
realità o meno dei punti uniti forniti da n° =0. 
Il secondo invariante 7 esprime, com’ è noto, col suo annullarsi che la fun- 
zione pt non stabilisce più alcuna dipendenza proiettiva tra i punti w ed 7, ma 
che si scinde nel prodotto di due forme lineari. Ora si ha 
37) r=(ab)(eB) nb =. 
Adunque i due punti w' o” forniti dall’equazione @*=0 sono tali che le serie 
proiettive ad esse corrispondenti cessano di sussistere; e dalla costruzione generale si 
vede che si ha sempre o ciascuno dei punti © o ciascuno dei punti 6. 
Per un altra prova, eliminando 4 tra le due 4 QU, 0n=0 ed Q®°=0 si ha 
0=(22) (20) au ba en n=} (20)? Dt + (20)? aut — (ab 22 { nf; 
a: 1 p 
2 2} On D) 
perchè (24)? @,= (22)? 8,=0. E così infatti s'era concluso prima. 
Più importante a considerare è l’ invariante %. Esso, è pur noto, esprime col suo 
annullarsi che le due serie proiettive sono in involuzione. Ora si ha, posto 9=ptn=M4.@n, 
dg dig 
88 le — rici — VE )) = __ 
) QUI ELE DIE di (pr) (40) dr 0). 
(1) In funzione delle forme fondamentali : (40) ayoy = Qy° Fo; si cfr. le eq. 10) ed 11). 
(*) Nella Zheorie sono indicati con 27, 27, 2% e non dati simbolicamente: $ 24. 
