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Dunque le serie proiettive corrispondenti al punto 4 definito 
dall’equazione 0)=0 sono in involuzione, 
E poichè dalla o\= 0 si trae ZX}= 0, ZXz2=— 0, tale involuzione è rappre- 
sentata dalla forma 
39) (40) an an = 0. 
Il carattere involutorio, anche nell'espressione algebrica, si riconosce subito par- 
tendo dalla relazione polare 
(ly n= YI Yu Pa 3 (AM (a (I) 
e ponendovi o, = 0. Così 
40) (10) Up, n= (40) Pn Pn ++ 0n0n=0. 
I punti doppî dell'involuzione sono forniti dall’ equazione (40) 4 @, = 0 ovvero 
per le 40) 4) e 83) 
41) INSOMMA ZION0P 
L'ultima forma conduce immediatamente alla costruzione della retta sulla quale 
giacciono i punti doppî. Invero formando l’ invariante simultaneo (armonizzante) delle 
due forme 2, +- Of —=0, 2° — 0?=0, sitrova 
(20) — (20) + (02) — (00') = 0; 
a cagione della proprietà (22°)? — (00)? Dunque la coppia 41) è armonica a quella 
comune ad s e ©, (eq.° 34); e la retta sulla quale giace la coppia 41) deve passare 
per S, come nel caso generale, ed inoltre pel punto 0. (centro dell’ involuzione indi- 
viduata dalle coppie w e @ esistenti sulle rette o e 7), ed è altresì coniugata armo- 
nica di s rispetto ad o ed a #. 
Le precedenti ricerche intorno alla posizione del punto Z sono casi particolari 
dell'altra: 
Trovare i punti 4 per i quali le coppie un formino un rapporto 
anarmonico dato 0 coi due punti uniti. 
Il detto rapporto anarmonico 0 è radice dell’ equazione reciproca di 2° grado 
(Theorie S 24) 
(29) IATA 
(rc 
21 
ossia per le 35), 36) e 38) 
(0-+- 1)? 9° — 200° —0; 
e si vede che i punti 4 appartengono all’ involuzione individuata dalla coppia o ©" 
e, dalla coppia co, che rappresenta due punti riuniti in o. 
Invece di dare il punto 4% e costruire poi le coppie (rv) di punti uniti delle serie 
proiettive 4 4, @n= pu tan =0, coppie allineate col punto fisso $, supponiamo invece 
conosciuto il punto S (basta costruirlo con due rette Pascal), e che dato un punto 
v o » della coppia (») su una retta passante per S, per es. 7°, si voglia costruire 4. 
Ecco come ciò si può fare. 
Poichè ad un punto 4 corrisponde una sola coppia v definita dall’equazione 32), 
e ad un punto v un sol punto 4, ed inoltre le coppie (v) sono sopra raggi uscenti 
(1) Si vede a pag. 377. 
