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dove à 
di = (040)? da =(b0 
n= (MP (d3> das — d°23),, Das == (490)? = 3 (do da — du d33) 
Il nuovo triangolo di riferimento è formato dalle rette x,= 0, z3= 0 tangenti alla C, 
nel punti uv =0, «=0, e dalla retta x,="0 ch è polare del punto u,=0.. 
Nel sistema di coordinate .; ed w; è interessante trovare la condizione che un 
punto ed una retta sì appartengano, siano in s//uazione riunita. Si trova ciò nel 
modo: seguente. i 
Essendo 4 un punto dato ed « una retta data, le equazioni 48) e 47) forniscono, . 
come si è detto, i punti di contatto delle tangenti uscenti da x, ed i punti dove x 
sega la curva. Se la prima coppia di punti è armonica con la seconda, il punto 
e la retta v si appartengono : e viceversa. La condizione analitica di questo fatto è 
data dall’ annullarsi dell'invariante simultaneo (4%) delle due forme x?) ed v*,. Onde 
la equazione n ù 
50) (2) A—10%0) 
è la condizione richiesta. Essa rappresenta poi un punto 4 o una retta % secondo 
che le variabili sono % 0 @. i 
Se ora data l'equazione della retta %: (vu)? —=0, si cercano i parametri dei 
punti d’ intersezione con C,, bisogna riscrivere l'equazione 47), cioè = 0. Or questa 
equazione si ottiene dalla 50) facendo le sostituzioni x, = A,, 41 ="— 43, cioè ponen- 
dovi 4,==0 (simbolicamente). Allo stesso modo scritta l'equazione del punto (= 
e postovi 2=0, sì ottiene l'equazione 48) 4%,=0, che porge i parametri delle 
tangenti uscenti da . In generale se si ha un’ equazione dell'ordine 7 o della classe 7, 
le sostituzioni precedenti forniscono i parametri dei 27 punti o delle 2 tangenti 
comune alle C, e rispettivamente alla curva di ordine x o a quella di classe 7. 
In sostanza le sostituzioni simboliche 
51) ei=k2, Ca=— i u= ds, = — Ai 
equivalgono a queste altre effettive 
TC 5 BE) 5 L3 ne U3 “né 7A 78 5 E 
52) i 
Mt VaR Ul de 
che rappresentano appunto la C, riferita al nuovo triangolo fondamentale. 
Invertendo le cose dette si trae l’altra conseguenza, che se in una forma quadratica 
Y = 0 
si fanno le sostituzioni 51), si hanno le equazioni 
53) i (Map=0; (pu) = 0 
d'una retta e di un punto che sono polo e polare rispetto a €», perchè la retta unisce 
“i due punti y° = 0, e il punto è l'intersezione delle due tangenti in essi. 
(!) Tornando alle antiche coordinaté ed approfittando di proprietà conosciute delle 6 forme 
a, b,:c, p,q, si trova infatti 
(un)? = d (U,X, +4 Us: X, + U,X3) =0, dove d= (bc) (ca) (23) 0. 
