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Le 53) possono ancora trasformarsi introducendo i parametri-radici di be = 0). 
Chiamandoli « e v possiamo supporre 
ye = (Zu) Ar) = 0. 
Di qui per le sostituzioni 51) si traggono le equazioni 
54) (Va) = ana =105 (Wu)? = un = 0 
della corda uv e del polo uv di essa. 
Se 4 ed y sono due punti del piano reciproci rispetto a C», le due forme 4°,=0, 
yè,==0 sono armoniche ; onde sarà 
55) (0) A=-10 
la relazione tra due punti reciproci o coniugati. Così pure sarà S 
56) (uo) = 0 so 
la relazione tra due rette reciproche. In altri termini, supponendo 4 ed « fissi, le 55) 
e 56) rappresentano rispettivamente la polare di 4 ed il polo di u. Ma se w è pro- 
prio la polare di 4 la sua equazione è, come fu visto prima a proposito dell’ equa- 
zione 50), (44)? = 0; dunque paragonando questa equazione con 55) si traggono le 
relazioni importanti (vedi le eq.’ 54) tra il polo + e la polare 
57) dii doi de = Uni Usi uz. 
Dalle cose suesposte si trae inoltre l’ importante principio : 
Se tre punti «, y, è sono per diritto sarà nullo l’ invariante 
simultaneo (ye) (e4) (7g), ovvero sarà nullo l’ invariante simultaneo 
(070) (wu) (uv) se le tre rette %, v, ww passano per un punto ('). 
Infatti “le coppie di tangenti uscenti dai punti 7, yy sono fornite dalle equazioni 
de =D ge v ag=0. 
Ma se x,y, sono per diritto, le tre coppie di tangenti o dei punti di contatto. 
sono in involuzione, e perciò si annullerà 1’ invariante simultaneo di queste tre forme. 
Analogamente per la seconda parte. i 
Si hanno dunque le due condizioni per tre punti in linea retta 0 per tre rette 
passanti per un punto : 
58) (ye) (va) (62) = 0 
59) (00) (vu) (vu) == 0. 
Se, rispettivamente, y e e sono fissi e lo sono anche v e 70, mentre 4 ed % sono 
variabili, la 58) è I equazione della congiungente due punti qualunque 7 e , la 59) 
è l'equazione dell’ intersezione di due rette qualunque v e w del piano. 
Queste equazioni, ponendo le forme jacobiane 
59) (MN) BE==(00) 1% 
si trovano ricondotte ai tipi 50) e 53). . 
Applicazione delle formole precedenti. Altre costruzioni del punto 0. 
Poniamo che due rette arbitrarie condotte per O abbiano le equazioni della forma 
60) G(P=0 CAGATE 
(3) Hesse, Wier Vorlesungen ete. 
