00 
coppia qualunque È, 7, di punti corrispondenti. Infatti si hanno prima le quattro 
coppie @@, 8, yy, £0 70 ed un punto e della quinta coppia. Ma, considerando o come 
punto &, il punto » corrispondente in virtù della 67) è conosciuto di per sè: esso è 
il punto x armonico di 1° ordine di o rispetto alla terna «#y (!). Si hanno dunque 
cinque coppie, quante bastano. 
Ma ciò che più interessa e che risponde poi meglio anche all’indole del presente 
scritto è il problema geometrico di dedurre dai dati ammessi le due serie di punti » 
e di coppie é&. 
Date adunque le coppie corrispondenti 
au, PP, YY, 0%, É0M0 > 
si considerino le due serie 
(a By 08), CIRZATO 
appartenenti la prima alla serie & e la seconda alla serie 7, e sì proiettino da due 
punti Z e w della C.. I due fasci (4) e (&) saranno prospettivi alle due serie e sa- 
ranno perciò anch'essi in corrispondenza (1, 2), per modo che ad un raggio di (4) 
corrisponde un raggio di (&), e ad uno di (4) corrispondono due di (4). 
Poniamo ora 4=x, u==0;i due fasci saranno 
x ((CAPIYAONE 9) MICRON (CASA) 
Essi generano una curva razionale del 3° ordine; ma essendo il raggio xo comune 
ai due fasci, la curva suddetta si spezza nella retta xo e nella conica individuata 
da’ cinque punti i 
i CORDRNAEXS 01 ACI (C) 
Sia H, questa conica. 
Ad un raggio 0») di (0), essendo 7 un punto di C,, corrispondono i due raggi 
che proiettano da x i punti H,.07; e questi due raggi tagliano poi C, in due punti 
& E" corrispondenti al punto ». Viceversa a un punto & di €, corrisponde quell'unico 
punto », che il raggio che unisce o al punto (unico) dove x£ sega H., taglia su C.. 
Perciò i punti & sono in corrispondenza (2, 1). 
IARIZIA 
Il carattere involutorio delle coppie £ £" si manifesta da ciò, che i punti 07).H, 
essendo sempre allineati con o formano un involuzione sopra H.; e però sono in 
involuzione le coppie di raggi che proiettano da x le coppie di punti 07.H ; e queste 
coppie di raggi passanti per x incidono sulla conica €, appunto le coppie &, le quali 
pertanto sono in involuzione. Adunque le rette £ &" passano sempre per un punto, 
ch'è il punto O delle nostre prime ricerche. 
Inoltre essendo @2yx armonici di 1° ordine rispetto alla terna @$y dei punti 
eByo, sarà la serie @#yx proiettiva al fascio D(@#y0); e proiettando dal punto o 
di C; la quaderna a 8yx, si ha pure che 
c(a8yx)N D(aBy0) (3). 
(1) Ricordo che le costruzioni degli armonici di 1° e 2° ordine le ammetto senz'altro. 
(®) È chiaro che questa conica non può passare per o, altrimenti avendo 5 punti comuni «870% 
con €» coinciderebbe con questa; onde anche il punto %£.070 starebbe su €, e però & =70, contro 
l’ipotesi (si avrebbero 4 punti uniti e le serie non sarebbero più distinte). D'altra parte ad un raggio 
di (0) corrispondono due di (x); perciò esso contiene due punti della conica diversi da oc. 
(3) Il segno A sta per le parole «è proiettivo », com’ è d’uso. 
