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punti tangenziali di @ #.y sono rispettivamente i punti comuni alle tangenti @@/, 88, yy. 
Ma questi punti sono sulla retta o polare di O col quale sono allineate le coppie di 
punti @a', 88, yy; si ottiene in tal modo immediatamente il teorema noto: I punti 
tangenziali dei punti di contatto di una curva del 3° ordine con 
una conica sono per diritto (!). 
Per trovare il punto doppio (isolato) dobbiamo risolvere prima la quistione : 
Nelle serie di punti £ ed n della corrispondenza (1,2) ci saranno 
coppie di punti involutorie (2), cioè coppie tali che ad un punto di 
essa corrisponde sempre l’altro, sia considerato come punto é sia 
considerato come punto 7? 
Detta Zu una di queste coppie, per essa devono valere le equazioni 
UÈ ca=0, by RIAD Va=0. i 
Eliminando w si ha la seguente equazione di 5° grado in 2: 
W= (09) a =0, 
che si trasforma facilmente come segue. 
n= (ay) aber} (40) PX + (08) 1a. | 
=(20) (17) a, Bb E +(ay) a, a, 0° 0, (perchè (38) dn =0)) 
aa prim Mata aa} (+ (at 
= 5 (ONE o YA + o). CE A (perchè (ey) ne HE == 0) 0 
La w, dunque si scompone nel prodotto della forma cubica pg = 4? @ la cui 
presenza è giustificata dal significato de’ punti «8y ma che non fa al nostro caso, e 
della forma quadratica, che rappresenta la coppia involutoria richiesta, 
2) Me= Cao = 0 
Chiamerò 7 7" i punti forniti dalla 2), P il polo della loro congiungente pe 2". 
Intanto l’ equazione 2) dice che la coppia 7 x" appartiene all’ involuzione indi- 
viduata dalle coppie @,> = 0 e 0,°:=0, il cui centro è per conseguenza l'intersezione 
della retta {= 0"0" e della tangente in o alla C,:(0,° è il quadrato della forma 
lineare 0, e o è un punto doppio dell’involuzione). 
Un'altra trasformazione della forma w, che si ottiene sostituendovi per (48) @ 
il valore (44) 8. + (a8)@ porge un'altra forma di Z4h?. Ma a questa novella forma 
sì può giungere adoperando le relazioni (M.I eq.° 11 ed eq.° 33 in nota) 
(«0) me= DÈ he iz E i Qe—- 02= 29È + 2 0)?. 
Di qui eliminando la forma 4, 
Oa= QQ —-2 (@0) mi — 20. 
Cosiechè la 2) diviene 
I= 92° —2(00) w?. 
La quale dice che la coppia 7" appartiene pure all’ involuzione individuata 
dalla coppia ww” e dalla coppia (@0) m? =0 che si ottiene cercando nella serie $ 
i punti corrispondenti al punto o, = 0 considerato nella serie 7. 
(1) Il teorema è vero per una cubica qualunque, anche senza punto doppio. 
(2) Weyr, loco citato pag. 6. 
