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Perciò la coppia 77 x” si oitiene come coppia comune alle due involuzioni sopra 
citate. Naturalmente la coppia 77" può essere reale o immaginaria, ma la retta p 
ed il suo polo P sono sempre costruibili, come s' è visto. 
Poniamo ora la tangente È, mobile intorno a €., sulla tangente 7". Se questa 
tangente si riguarda come tangente », una delle tangenti corrispondenti £ sarà la 7°: 
se invece si riguarda come tangente £, la stessa 77° sarà la tangente 7. Onde il 
punto P, comune alle due tangenti 7 71” appartiene a Z°. Facendo coincidere $ con 77” 
il precedente discorso resta tal quale, salvo a mutare tra loro 7° e 7; e se ne con- 
clude che la curva passa due volte per P, che perciò è il punto doppio. 
Del rimanente possiamo condurre per P_una retta qualunque 7. e cercare le 
sue intersezioni con la curva, cioè cercare le coppie comuni all’involuzione quadra- 
tica, determinata da 72, ed alla corrispondenza (1,2). Ora per le cose dette dinanzi 
n 7" è una di cotali coppie, anzi poichè si ha in pari tempo 
Pi Cra = rt Carl = 0 5 
tal coppia conta per due nel numero totale. Resta dunque una sola coppia, il cui polo 
è l'intersezione di 7 con 7°. Adunque ogni retta per P incontra 7” in un sol punto, 
oltre che in P: carattere speciale del punto doppio (1). 
Possiamo trovare subito le equazioni dei punti 6, C£", G£". Esse sono uzun=0, 
0, uzuzi=0 (M.I,$ 6) con le condizioni a an=0, a°srec=a’zra=0. 
Eliminando » tra le due uzu,=0 agt@e,=0, e é tra le coppie analoghe delle altre 
equazioni, e ponendo 4 in luogo di ©, di & o di &”, si ha per l'equazione di un punto 
della curva Z” (punto 4) 
ug uz 
(cu) = 0, 
identica alla 1), come doveva appunto essere. 
Nella teoria della cubica ha capitale importanza la ricerca dei tre flessi, ovvero 
della retta sulla quale essi giacciono. 
L'equazione di questa retta, che chiamerò 7, si ottiene subito formando l’inva- 
‘riante simultaneo delle due forme cubiche 
3) A;8 = (au) MÈ Ur 3 B43 == (80) NG VI (3). 
Si ha dunque, applicando ripetutamente il processo polare, e chiamando con 4 
il punto 4.0, 
(22) = (AB) = (ev) (4B) (uB)=+(40)°(u0) (au) (80) —Èè (40) (10) (du) (au) (80) 
—IM_-IN. 
L'invariante M per la equazione 15) della prima Memoria si trova eguale ad 
(uv) (Ou) (90). 
(1) L'equazione analoga alla 1) per la retta 7 condotta per P è, come facilmente si trova, 
O= 2 (am)ax mr, = (ne pr + È (Au) tu) Im? . 
Perciò si ha, come altra prova, la coppia fissa I17?*—0 ed il punto 2 variabile con w: gu? 9a + $ (4) 0p=0, 
dove « è uno dei punti d’intersezione di n con C»: e se l’altro è 4' si ha la relazione II, Iy=0, 
la quale dice appunto che 7 passa pel polo P. 
(?) Vedi Franz Meyer, Apolaritàt, $ 7, n. 17; ed anche una mia Nota inviata all'Accademia di 
Napoli, ma fino a questo momento non pubblicata. (Fu poi pubblicata nel Rendiconto del maggio 
1885, col titolo: Sulle curve del 3° ordine con un punto doppio). 
