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Dato 7 su C., sì trovi nel fascio O la retta O£ corrispondente ad «7. La tan- 
gente in 7 a ©, incontra O0$ nel richiesto punto «. 
Dato invece O£$, si trovi 7. La tangente in n a C, incontra O$, come sopra, nel 
punto x. 
In altri termini il fascio (di prim'ordine) O essendo proiettivo al fascio e, sarà 
pure proiettivo, oltre che alla serie dei punti 7, anche: alla serie delle tangenti » 
a C., che forma un fascio di second’ ordine. Perciò, com’ è noto (!), i punti comuni 
ai raggi del fascio di prim’ ordine ed a quelli del fascio di second’ ordine generano 
una curva 1" del terz’ordine. 
La forma dell’equazione 12) 
12”) (pa) = xp — 2291 Po + E3P1 
dove le pp» definite dalla 11) sono lineari nelle x;, mostra che il punto O comune 
alle due rette pi =0, p»=0 è il punto doppio di 1°: ciò che del resto anche la 
costruzione precedente dei punti di 1 mostra. Ma le tangenti alla conica in o' w" 
non sono tangenti alla curva. Infatti w' corrisponde al punto 6’ considerato come 
punto 7: perciò la tangente 6" a €, è incontrata dalla retta corrispondente 0w' del 
fascio O in un punto di 1°; perciò 0w' è secante e. non tangente in O alla 1”. 
Invece si consideri w' come punto 7, e si trovi nel fascio O la retta corrispon- 
dente ad '. Questa retta incontra la tangente o' a €, in un punto di 1; ma la retta 
e la tangente s'incontrano in 0, dunque in O, sulla retta trovata, si trovano riuniti due 
punti della curva; e però quella retta è tangente in esso. 
Infine la 7” tocca €, nei punti @8y, i cui punti tangenziali sono i punti a #"y'; 
precisamente come per la curva I. 
L'equazione del punto doppio è intanto 
(QQ) =0, 
e le sue coordinate sono 2,, 2, 3: l'equazione complessiva delle tangenti nel punto 
doppio è poi 
Q, pi° — 22% pi Pa + 2 pi = (p)? = (2e).(25) (42)? (02)? = 0. 
È facile trovare l'equazione di un punto della curva. Esso è il punto comune 
alle due rette (24)? @ = 0, 41°; e la sua equazione è della forma (ut=0. Onde, 
pel noto principio, l’equazione stessa si ottiene eguagliando a zero l’invariante simul- 
taneo delle 3 forme quadratiche in &:a:?@ = 0, (£4)?=0, u:*= 0. Onde si ha subito 
13) (mara =0 , 
forma diversa, come sì vede, dalla 1). 
Troviama anche qui l’ equazione della retta su cui giacciono i tre flessi, che 
chiamerò retta 7. 
Ponendo, come per la prima curva, 
Ax}=(au)ur ay er, Ax3= (00) vx dx Pax, 
si ha da principio 
(MP (AIB, 
(1) Reye, Geom. der Lage, Eilfter Vortrag. 
