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Le cubiche precedenti nel caso: 3. = 0 . 
Ponendo nelle formole precedenti o = 0, le curve I" e £" coincidono in una 
“ sola curva T°, reciproca della curva di 3% classe e 4° ordine studiata dal prof. Bat- 
taglini (!). 
Adunque per questa curva: 
(gu)yx° wu. = è l'equazione di un punto 4 della curva, ovvero se è fissa fornisce 
i parametri dei punti comuni a TY e ad %; 
(gA) gp, =Q = 0 fornisce i parametri dei flessi ; 
(4x) =0 è la retta che unisce i flessi ; 
(4u)} =0 è l'equazione del punto doppio ; 
(00)? QQ = di 4,.}3=0 porge i parametri del punto doppio ; 
(4p)}=0 è l'equazione complessiva delle tangenti nel punto doppio, essendo 
sempre pr = x (pr)? ; 
(px) =0 è l'equazione della curva; 
QQ, = 0 è la condizione che i tre punti 4w»v siano per diritto ; 
®Q,= 0 è la relazione tra il punto 4 ed il suo tangenziale wu. 
È noto che una curva di 3° ordine 7° con un punto doppio si può riguardare 
come hessiana di un'altra (e di questa sola) curva del 3° ordine; e perciò i suoi punti 
sì possono in un sol modo distribuire in coppie di pol? coniugati. Le congiungenti 
pol questi coppie di poli inviluppano la cayleyana 2 di quella curva della quale £° 
è l'hessiana. Siffatta cayleyana ch' è una curva in generale di 3* classe, qui si spezza 
nel punto doppio ed in una conica. 
« Questa conica è precisamente la conica fondamentale €, >». 
Immaginando infatti la curva T° descritta nel modo di 1”, sulla tangente £ a ©, si 
trovano di 7° i tre punti 
- sr 
SÙ) b) SS i) 
essendo i parametri ligati dalle relazioni 
SPgn=0, gelgg=0, gwnge=0. 
Or, com’ è noto, i punti & &" armonici di 2° ordine e le relative tangenti formano 
un'involuzione i cui punti ed i cui raggi doppî sono i punti e le tangenti d'd” for 
niti dall’equazione 4,2 = 0. Segando siffatta involuzione di tangenti con una tangente C, 
si ha un’ involuzione di punti X'=$8, X"= E”. Onde il fascio che proietta da D. 
polo della corda d' d”, le coppie X' X”" è in involuzione, che ha per elementi doppî le tan- 
genti dd” a C,. Perciò i punti di 7° indicati con X'X"” sono coniugati, e si trovano 
già sulla tangente £ alla curva C.. Così C, coincide con X. 
(1) Sopra una curva di 3% classe e 4° ordine, Nota dell’Accademia di Napoli, 1865. Del resto 
permutando nelle nostre formole i simboli @ ed «, si hanno le proprietà di quella curva, chiamata + 
dal Battaglini. 
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