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Data È e la coppia gz° g:=0 corrispondente, se si cerca il coniugato armonico & di È 
rispetto alle coppie È, si deve avere l'equazione ge gu ge = gr gg = 0; onde, poichè 
è pure ge gn=0, e è è dato =. In altri termini: una coppia di poli 
coniugati è divisa armonicamente dal punto di contatto della loro 
congiungente con la cayleyana, e dalla terza intersezione di que- 
sta stessa congiungente con la curva. Ma questa proprietà appartiene alla 
cayleyana di qualunque curva del 3° ordine (di genere 1 o zero) (!). 
Come dai punti di €, si deducono quelli di 7° uno per uno adoperando la ce struzione 
della curva 1” del $ 2, così bisogna intendere trasportate le forme Q,3, gg e 1° dalla 
C. sulla 7°; e viceversa. 
Così per es., l'equazione Q,° =0 fornisce i parametri dei tre flessi. Adunque per 
trovare questi punti, s' intendano costruiti sulla C, i punti «'"y' rappresentati dallo 
stesso covariante @,* eguagliato a zero, e s' immagini costruita la corrispondenza 
Gi pn = 0 mediante i due fasci di raggi (D) ed (@') prospettivi alla punteggiata y. Il 
punto di 7° situato sulla tangente «' (punto di Q,*= 0), si trova segando quella tan- 
gente col raggio corrispondente del fascio D; ma queste due rette (corrispondenti, perchè 
«' si considera nella costruzione come punto » ed il raggio ea = @'e'= colla tangente 
in) devono segarsi su #7; dunque il punto A=@' @'. 8y sarà il richiesto punto di 
flesso. — Con questa costruzione è riconfermato il fatto che la retta che unisce i flessi è 
la polare 4 di D; infatti A è il polo di e’, che passa pe: D; onde esso giace nella 
polare di D. £ 
È noto come i punti di contatto delle altre tangenti uscenti dai flessi sono forniti 
dal covariante 
(Q4) Qi A, =0 (3). 
Ma quei punti sono i punti « #y, dunque la forma precedente deve differire per una 
costante da g°: risultato conosciuto dall’Algebra, poichè è noto che 
3 R 
(QAR. 
Così pure la condizione che tre punti Zw»v siano in linea retta, cioè la QQuQ=0 
si può enunciare dicendo che la terna Z w»v è armonica rispetto alla terna «#7 (M. $5). 
Il modo come si costruisce la terna 4uv sulla €. permette di trovare il terzo punto 
d'incontro v con la 7°, quando sian noti gli altri due % e u. Infatti si determinino i 
punti Z e w su €» corrispondenti ai punti, indicati con gli stessi parametri come al 
solito, sulla £°. Si congiunga D col polo di Zw rispetto a C.. La retta che con- 
giunge « col punto g'y". Zu taglierà su ©, il punto », tale appunto che Q, Qu Q=0 (8). 
Trovato il punto v su ©€,, lo si riporta poi su Z° secondo l’usato, ed anche, più 
(1) Teorema di Cayley; vedi Cremona, Einle:tung ete., n. 185 c. 
(2) Si veda Clebsch-Lindemann, Vorlesungen ber Geometrie pag. 902, e Rosenow, Curven 
b) U .) 
dritter Ordnung mit einem Doppelpuncte, Breslau. 
(3) Questa è la costruzione delle terne 4Zuv di cui è fatto cenno nella M. I. $ 5; soltanto qui 
il punto v rimpiazza 7, e la terna «877 rimpiazza €8y. Vedi anche Battaglini, Rendiconto dell’Ac- 
cademia di Napoli, fascicolo 2°, febbraio 1866. 
