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sono eccezionali, eccezionale sarà la collinearità fra i due spazî. E viceversa, se la 
collinearità fra X e 2’ è ordinaria, deve essere ordinaria la collinearità fra tutte le 
coppie di piani corrispondenti; mentre che se fra i due spazî è eccezionale, tale deve 
essere fra tutte o fra alcune coppie di piani corrispondenti. Sicchè considerando tutte 
le collinearità eccezionali fra o e 0', e fra o, e o, e dando agli elementi eccezio- 
nali di questi piani tutte le possibili posizioni, otterremo tutte le collinearità ecce- 
zionali fra 1 due spazî. 
3. Supponiamo che la collinearità fra 0, e 0, sia ordinaria, e quella fra o e o' 
eccezionale di primo ordine (!); cioè con un punto eccezionale E in o ed una retta 
eccezionale e' in d'. 
Se il punto E si trovasse sopra la retta c0,, a tutti i punti di questa retta, consi- 
derata come appartenente a o, corrisponderebbe un sol punto di e'; mentre che con- 
siderata come appartenente a 0), ad ogni suo punto corrisponderebbe un punto della 
corrispondente retta in 0',; quindi le rette 00), 00", non potrebbero essere corrispon- 
denti e perciò E non può trovarsi sopra 00ì. | 
Se E è un punto qualunque di o, alla retta c0,, di o, deve corrispondere la 
retta e' di 0°; cioè deve essere e=0%0",. In tal caso ad ogni punto di 00, si può 
far corrispondere un punto di 0'0',, e viceversa ad un punto di questa retta un punto 
della prima. 
Un piano qualunque @, dello spazio X, sega 0,0, secondo le rette «0, @0,; alla 
prima corrisponde e’, alla seconda una determinata retta di c‘,; quindi al piano @ corri- 
sponde il piano o',. Se il piano @ passa per il punto eccezionale E, alla retta @0 cor- 
risponde un indeterminata retta di o', passante per un determinato punto di e; mentre 
che alla retta «0,, corrisponde una retta di 0',, per lo stesso punto di e'; sicchè 
ad un dato piano per il punto E, corrisponde un indeterminato piano di un fascio, 
il cui asse è una determinata retta di 0°,. 
Se il piano @, girando attorno ad una retta 7, condotta per E, descrive un fascio, 
l’asse del fascio dei piani corrispondenti .ad @, passerà sempre per uno stesso punto 
di o°,, che è il punto corrispondente al punto 70,, e descriverà un fascio di raggi 
projettivo al fascio di Hut 
Un piano qualunque @', dello spazio 2", sega o’, 0°,, secondo le rette e/o’, &'0%,; 
alla prima corrisponde una data retta per E di c, allo seconda una retta di c,, che 
sega la prima in un punto di 07, (il corrispondente di «‘0/0/,): quindi ad un piano @' 
ed a tutti quelli, che passano per la retta «‘0',, corrisponde un determinato piano 
per E. A tutti i piani, che passano per un punto R', di 0',, corrispondono piani, che 
passano per E e pel punto R, di 71, corrispondente ad R',; quindi possiamo dire: 
A tutti i piani di un fascio, il cui asse si trova sopra c', e passa per un punto dato, 
corrisponde un piano di un fascio, il cui asse passa per E. 
(1) In tal caso al punto eccezionale E corrisponde un punto indeterminato di 0°, ed a tutti i 
punti di una retta di o, che passa per E, corrisponde un determinato punto di e‘; ad una retta 
qualunque di o corrisponde la retta eccezionale e'; ma ad una retta di o, che passa per E, corri- 
sponde, sopra 0°, un’ indeterminata retta passante per un determinato punto di e'. Vedi Hirst, Wote 
on the Correlation of two Planes. Annali di Matematica, vol. VI. 
