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Il piano o’, sega c' secondo la retta e, alla quale corrisponde una retta qualunque 
di c; quindi a c', corrisponde un piano qualunque dello spazio 3. 
Per un punto qualunque P', dello spazio 2°, passa una stella di piani, alla quale 
corrisponde una stella di piani passanti per E; quindi a P' corrisponde E. Se però P' 
si trova sopra o), ai piani per P' corrispondono i piani di un fascio il cui asse passa 
per E, eccezion fatta del piano c',, al quale corrisponde un piano qualunque; quindi 
a P' corrispondono tutti i punti dell’asse, cioè di una retta passante per E; e se il 
punto P' descrive una retta di a',, la retta, luogo dei punti corrispondenti, descriverà 
un piano, il piano corrispondente ai piani, che passano per la retta descritta da P', 
e formerà sopra di esso un fascio projettivo alla punteggiata. E viceversa. 
Abbiamo quindi fra i due spazî una collinearità con un punto ecce- 
zionale E in X ed un piano eccezionale g' in 2. 
Essendo la stella E prospettiva al sistema piano c,, e questo collineare a dg"; 
risulta che la stella E ed il sistema piano o’, sono collineari. 
Se avessimo supposto la collinearità fra o e o' con una retta eccezionale in o ed 
un punto ‘eccezionale in o', saremmo giunti ad una collinearità con un piano ecce- 
zionale nel primo spazio ed un punto eccezionale nel secondo. 
4. Sia eccezionale di primo ordine tanto la collinearità fra e e o' come quella 
fra c, €01; e precisamente vi sieno nei piani c, c;, i punti eccezionali E, E,, e nei 
loro piani collineari le rette eccezionali e", e). 
a) Se i punti E, E, non si trovano sulla retta cc:, le rette eccezionali devono 
. coincidere con la corrispondente di 07,, cioè deve essere o'o'1==e/=e. Con ragio- 
namenti analoghi a quelli già fatti precedentemente, e che crediamo inutile ripetere 
ogni volta, tenendo sempre conto della nota precedente, si ottiene che: 
Ad un piano qualunque dello spazio X corrisponde un indeterminato piano pas- 
sante per 0‘0',; mentre che ad un dato piano per EE, corrisponde un indeterminato 
piano passante per un determinato punto di 0'0/;; e viceversa. 
E ad un punto qualunque di EE, corrisponde un indeterminato punto dell’altro 
spazio; mentre che a tutti i punti, di un dato piano per EE,, corrisponde un deter- 
minato punto di 0'0°,; e viceversa. 
Abbiamo così una collinearità con due rette eccezionali; ma però 
indeterminata. Otterremo in seguito la detta collinearità completamente determi- 
nata (5, 6). . 
5) Coincidano i due punti E, E,, e coincidano pure le rette e", e, ciò che è 
possibile; e sia R' il punto di 0'0',, che corrisponde a tutti i punti di 00,; mentre 
che ad E corrisponde un indeterminato punto di 9°". 
Diremo corrispondenti due rette di o e c,, passanti per E, quando ai punti di 
esse corrisponde lo stesso punto di c‘g'1. Queste rette corrispondenti formano due fasci 
concentrici, projettivi alla punteggiata 00’, e perciò projettivi fra loro; ma hanno il 
raggio 07, unito, quindi sono prospettivi, ed i piani, che wniscono due raggi corri- 
spondenti, si segano tutti secondo una retta e passante per E. 
(Questo caso è analogo al precedente, solo però, invece della retta EE,, vi è la 
retta e, sulla quale i due punti E,E,, sono infinitamente vicini; perciò si ottiene 
una collinearità indeterminata con due rette eccezionali. 
