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Reciprocamente, preso sopra «'», un raggio #1, esso determina il piano £/,==x1B1, 
il quale sega @3 in c1; questo raggio mi determina il raggio c'3, che soddisfa la (4), 
e quindi il piano 6'=$=cB», che sega il piano «', in un raggio 2’, del fascio. Avuto 
questo raggio, mediante la (3) determino 4, che in generale non coincide con 21; 
sicchè anche ad un raggio 4" corrisponde un raggio 2. Vi sono quindi due raggi 2 
ciascuno dei quali coincide col suo corrispondente e perciò vi sono due coppie di piani 
£1,'», che soddisfano la (1) e la (2). Ma uno di questi due raggi %',, è il raggio 
&',@3, e quindi i piani £,,6» di una coppia passano per @'3.0'3 e non soddisfano 
il problema; perciò i piani di una sola coppia si possono ritenere come piani polari 
di B, e B», e la correlazione fra le due stelle, e quindi fra i due spazî, si può stabi- 
lire in un. sol modo. 
Lo stesso dicasi, quando si piglia come punto eccezionale di X, il punto A, 
od Az oppure A,; quindi è r=4. 
è) Ricerca di 4. — Se nello spazio X vi è un piano eccezionale #, esso deve 
contenere tre dei punti A; perchè se ne contenesse meno, i piani polari dei punti A, 
che non si trovano sopra e, dovrebbero coincidere (10, 2). Sia quindi £=A,A5A3, 
il piano polare di A, deve essere il piano eccezionale #'; quindi #=@",; ma il piano 
eccezionale «" è il piano. polare dei, punti. B,,B., e perciò dovrebbe passare per 
B',, B3; ciò che è impossibile; dunque è 4=0. 
c) Ricerca di w. — La retta eccezionale e dello spazio X, deve contenere due punti 
A; perchè se ne contenesse un solo o nessuno, per la retta eccezionale e' di 2° dovreb- 
bero passare i piani polari dei tre o quattro punti A, che non si trovano sopra e. 
Sia dunque e==A,A;; sarà allora e'=@3@,, i piani polari di B,,B, saranno 
Bi=eB1,,B=eB3, ed i due fasci di piani e. A3A,B1B», €361, dovreb- 
bero essere projettivi, ciò che non è, essendo gli elementi dati in posizione arbitraria. 
Dunque è w=0. 
d) Le formole I ci dànno per le caratteristiche del sistema u=1,v=3. 
23. Il secondo sistema, soddisfa alle condizioni (4011), cioè 
Ar Ap Ag A Bir 
Gr Ca dan 9 
a) Ricerca di 77. — Per quel che abbiamo detto nel caso precedente, il punto 
eccezionale E deve coincidere con uno dei punti A; ma se esso coincidesse con uno di 
essi, per esempio con À;, i piani &'3, @3,@,,y dovrebbero passare per E', ciò che 
non è; dunque non esistono correlazioni con punti eccezionali, che soddisfano le date 
condizioni, cioè ,#=0. è 
6) Ricerca di 4. — Per il principio di dualità si ricava 4=0. 
c) Ricerca di w. — La retta eccezionale e, dello spazio X, deve essere (22 , c) 
una delle sei rette, che uniscono due qualunque dei quattro punti A. Sia e==A1A3; 
sarà e =@'3 0", 6'==eB' il piano polare di B, = eB il piano polare di B' ed ey, ey, 
i poli di y' e y. Stabilendo la projettività fra i due fasci di piani e . A3,A4,B ; @3,@,,f, 
e quella fra le due punteggiate e, e", cioè (A1,A», 07), (€.@1,0%,7), si determina 
completamente la correlazione fra i due spazî. Il piano polare di un punto P dello 
