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27. Termineremo questa prima parte facendo conoscere le superficie e le curve 
di ciascuno spazio che, in ogni sistema già studiato, corrispondono ai punti ed ai piani 
dell'altro spazio. 
4) Per il primo sistema (4020), abbiamo trovato r=4,4=w=0; u=1,v=3. 
Essendo u=1., i piani polari di un punto R, rispetto a tutte le correlazioni 
del sistema, passano per una retta 7°, che rappresenta la superficie sviluppabile cor- 
rispondente al punto (18). 
Inoltre dati due punti R, S, di uno spazio, i piani polari di essi rispetto ad 
una stessa correlazione, i quali passano rispettivamente per 7,5", rette corrispon- 
denti ai punti, si segano secondo una retta che è la polare di RS, ed il luogo di 
questa retta polare è una superficie dell'ordine 2u—4=2, la quale passa per i quattro 
punti eccezionali (19). L'altro sistema di rette situate sulla quadrica, è formato dalle 
rette corrispondenti ai punti della retta RS. 
Preso un terzo punto P, dello stesso spazio, ad esso corrisponde un’ altra retta p', 
inviluppo dei piani polari di P; ad ogni piano, che passa per p', corrisponde una 
generatrice della quadrica che ad RS corrisponde (retta polare di RS); ed il luogo 
dei punti d'intersezione delle generatrici della quadrica con i piani corrispondenti del 
fascio p", è una curva gobba del terzo ordine (20); luogo dei poli del piano PRS. 
La retta p' sega la quadrica in due punti A,B, i quali sono punti della curva 
gobba, perchè la generatrice (retta polare di RS), che passa per uno di essi, per esempio 
per A, sega nello stesso punto A il piano corrispondente del fascio p', il quale piano 
toccherà in A la curva gobba. 
Un piano qualunque per p', oltre ai punti A e B, ha in comune con la curva 
gobba il punto ove egli sega la generatrice ad esso corrispondente. 
Risulta da quanto abbiamo detto che tutte le rette corrispondenti ai punti di un 
piano PRS, sono corde della curva gobba, che a questo piano corrisponde. 
La curva gobba su detta, che come è noto, passa per i quattro punti eccezionali, 
è anche la residua intersezione delle due quadriche, che corrispondono alle due rette 
RS, RP, le quali hanno una retta in comune, la 7. 
0) Per il secondo sistema (4011) abbiamo trovato r=Z=0,w=6,u=»v=3. 
In esso ad un punto di uno spazio corrisponde una superficie sviluppabile della 
terza classe; il luogo delle rette polari di una data retta è una superficie del sesto 
ordine, che contiene le sei rette eccezionali, ed il luogo dei poli di un dato piano è 
una curva gobba del terzo ordine, che incontra in un sol punto ciascuna delle sei rette 
eccezionali. 
c) Per ciascuno dei due sistemi (3120), (3111) si ha =4=1w=0,u=v=1. 
Ad ogni punto R di uno spazio, corrisponde una retta 7’ situata nel piano ecce- 
zionale # , inviluppo dei piani polari di R. 
Ad una retta RS corrisponde un fascio di raggi (2@u—4=1), luogo delle rette 
polari di RS,il cui centro è il punto 7°s' di «ove s'incontrano le rette 7°, s' cor- 
rispondenti ai punti R, S. Il piano 7 di questo fascio passa per il punto eccezionale E'. 
Preso un terzo punto P, il luogo dei punti comuni ai raggi del fascio (7/8), cor- 
rispondente ad RS, ed ai piani corrispondenti del fascio di piani p' (p' è una retta 
di #, ma che non passa per 7/5), è una retta (v=1) luogo dei poli del piano PRS: 
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