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PARTE TERZA 
1. In due ispazî a tre dimensioni, le correlazioni, che sono soggette a tredici con- 
dizioni, formano un sistema doppiamente infinito. In questo sistema sono compresi tre 
sistemi semplicemente infiniti di correlazioni eccezionali di primo ordine ed un numero 
finito di correlazioni eccezionali di secondo ordine, di cui dinoteremo con o il numero 
di quelle con punti e piani eccezionali, con o il numero di quelle con piani e rette 
eccezionali e con 7 il numero di quelle con rette e punti eccezionali. 
Dei tre sistemi semplicemente infiniti di correlazioni eccezionali di primo ordine, 
il primo è formato di correlazioni con punti eccezionali, il secondo di correlazioni con 
piani eccezionali, il terzo di correlazioni con rette eccezionali; e sin da ora dinote- 
remo con' 77, 0 7a, À, 0 Za, W 0 Wa il numero di quelle con punti eccezionali, con 
piani eccezionali, con rette eccezionali, per le quali due dati punti o due dati piani 
sono coniugati. 
I punti eccezionali formano, in ogni spazio, una curva gobba, i piani eccezionali 
una superficie sviluppabile, e le rette eccezionali una superficie rigata; e fra le due 
curve gobbe, come fra le due superficie formate dai piani eccezionali o dalle rette 
eccezionali, esiste una corrispondenza univoca, ritenendo come elementi corrispondenti 
due punti, due piani o due rette eccezionali associate. In questa terza parte, ci 
occuperemo delle relazioni, che legano le correlazioni eccezionali di primo ordine a 
quelle di secondo ordine, e della ricerca delle correlazioni eccezionali di secondo or- 
dine, che soddisfano tredici condizioni elementari. 
2. Consideriamo un sistema semplicemente infinito di correlazioni eccezionali di 
primo ordine con punti eccezionali, soggette a tredici condizioni. 
Sieno A, B, due punti del primo spazio, le rette polari della retta AB, rispetto 
a tutte le correlazioni del sistema, formano una superficie, sulla quale si trova la 
curva luogo dei punti eccezionali del secondo spazio. 
Di che ordine è questa superficie? Prendo una retta 7°, del secondo spazio, e 
sopra essa un punto A’; A ed A' sono coniugati, rispetto a 7, correlazioni del sistema, 
i piani polari di B, rispetto a queste correlazioni segheranno 7’ in 7, punti B'; sic- 
chè un punto A’ di 7", determina 7, punti B' della stessa retta. Reciprocamente un 
punto B' determina 77, punti A'; quindi vi sono .2,r, punti A’, ciascuno dei quali 
coincide con uno dei suoi corrispondenti B'. 
Nel sistema suddetto di correlazioni con punti eccezionali vi sono @ correlazioni 
eccezionali di secondo ordine con punti e piani eccezionali, e # correlazioni eccezio- 
nali anche di secondo ordine con punti e rette eccezionali. 
