quindi osservando che l’equazione @ (x,y, 2) =, 0%,c®,=0 è quadratica rispetto 
ad (21:02), (V/1-Y2), (Z1:72), la sua equazione differenziale diverrà 
(2) (xda)V (aa ))203, 0%, co e% + (ydy)V (00)? c%, ata? 
+ (2dz)V (co')? ea 
Le espressioni sottoposte al radicale sono i discriminanti di ©, considerata al- 
ternativamente come forma quadratica in (21:22), (Y1:%2), (1:22). 
Limitiamoci a considerare il caso in cui la forma © sia simmetrica rispetto alle 
x,Y, 3; le ombre a, db, c saranno allora permutabili fra loro; quindi ponendo sim- 
bolicamente 
arbici=S1, dica a, 
e per brevità 
LyYyZ1==S1; Ya 51 LT Z1X1Ya3X1Y139==89, Yr5rXt 14-39, Lg Yat Lg Yo Z4= 83, Lal 
si troverà 
cra1bao=ab1 co=Sa, 0a 020,="c20, 0 = a,b, c1=S3, dada =, 
0 (2, Ys = (S1s1 + So sa + Sg S3-+ Sx gP= So 
le ombre S;, S;, (î,97 = 1,2, 3,4), avendo significato di quantità solo nelle combina- 
zioni S,S; che costituiscono i coefficienti S;j;= S;; nello sviluppo algebrico della 
forma quaternaria quadratica S?,. 
Supponiamo la forma © tale che ciascuna delle tre espressioni sottoposte al ra- 
dicale in (2) si decomponga nel prodotto di due forme biquadratiche, ognuna conte- 
nente una sola delle variabili (01:22), (V1:%2), (21:22); è chiaro che se ciò avviene 
per una di esse avrà luogo ancora per le altre due, poichè queste si ricavano dalla 
prima con un semplice scambio tra le variabili, ed uno scambio tra le ombre, il 
che lascia inalterati i coefficienti: supporremo adunque 
(3) GRA e (VP = 
(cc) ata, b®yb®,=fis.fty, 
ed allora l’equazione (2) prenderà la forma dell’ equazione differenziale ellittica 
4 (IS, (ydy) degni Sy 
V e V o y f % 
Vedremo che data la (4) si può soddisfare alle condizioni (3), rimanendo con 
ciò pienamente determinati i dieci coefficienti S;; che entrano nell’espressione della 
forma ©; l'equazione €(2,y,z)=0 sarà quindi un integrale particolare dell’equa- 
zione (4), poichè non conterrà costante arbitraria: se poi una delle quantità 
Y=Y1:Y2, 3==Z1:Z2, per esempio quest’ultima, si riguarda come costante, 1’ equa- 
zione (2, y, z)==0 sarà l’integrale completo dell'equazione differenziale ellittica 
(5) (eda) __ e 
VE IA, 
essendo z= z1:Z> la costante Ii 
Viceversa se si vuole che l’equazione @(w,7,2)=0 sia l’integrale completo dell’equa- 
zione differenziale (2), nella supposizione di z costante, dovrà 3 scomparire dall’ equazione 
xda ydi 
—L — nr MI 2 E mi 
VOLARE, VIPER 
il che non può accadere se non quando le condizioni (3) siano soddisfatte. 
IX L93 
