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Qui ci occuperemo esclusivamente di funzioni analitiche di x, aventi in 2 quella 
qualunque singolarità che si voglia, ma per le quali si possa imaginare intorno ad x, 
una corona entro cui esse sieno esenti da ogni singolarità. Scelto comunque un punto 
xo nella corona, una qualunque, y, di tali funzioni si potrà imaginare rappresentata 
da una serie di potenze intere positive di x—x, convergente nel massimo cerchio 
di centro 2, contenuto nella corona. Da questa prima serie se ne potranno imaginare 
dedotte altre ed altre quante si vorranno relative analogamente ad altri punti presi 
successivamente, come xo, nella corona. La y si dirà monotropa nella corona, se ripi- 
glierà lo stesso valore al ritornare di 2 in uno stesso punto dopo compiuto un giro 
intorno ad x1; politropa in ogni altro caso. 
Diremo positivo un giro intorno ad x, quando si faccia nel senso stesso in cui 
deve rotare la parte positiva dell’asse reale per sovrapporsi con un quarto di giro 
alla parte positiva dell’asse imaginario. È anche il senso secondo cui si ritiene che 
cresca l’ angolo od argomento di a—21. 
Ciò premesso, significherò con Ay la differenza o l’incremento che la funzione y 
riceve mentre la variabile indipendente, partendo dal punto qualunque « della co- 
rona, vi ritorna compiendo un giro positivo intorno ad 21. 
Ora, osserviamo che risulta 
Alog(e — x) = 27î, 
cioè che log (a — 21) si comporta, rispetto alle differenze di cui vogliamo trattare, 
come si comporta nel Calcolo delle differenze la variabile che ivi si assume come 
indipendente. Dunque, riferendo metodicamente da qui innanzi le differenze di tutte 
le altre funzioni a quella del logaritmo di a—; come se questo fosse la variabile 
indipendente, potremo tradurre immediatamente tutti i risultati già conseguiti nel 
detto Calcolo in altrettanti relativi alla teorica che ci siamo proposto di costituire. 
In altre parole, questa teorica non è altro in sostanza che lo stesso Calcolo delle 
differenze, interpretato, come dicemmo, in guisa particolarmente opportuna per le ri- 
cerche sulla variabilità complessa. A siffatta particolare interpretazione poteva anche 
condurre senz’altro la osservazione del frequente comparire della funzione elementare 
log (r—x1) in coteste ricerche. 
Per maggiore semplicità ci riferiremo, non al log (2 — 21), ma alla 
Tn log (2 — 3) 
2rt 
per cui A£= 1, Quindi, imaginare. che la @ compia uno, due, .... giri intorno ad x, 
sarà lo stesso che imaginare che la # cresca di una, due, .... unità; e potremo ri- 
guardare le funzioni secondo l'opportunità o come dipendenti da 4 0 come dipen- 
denti da t. 
Pel frequente uso, significheremo con la sola lettera e il periodo 27è della 
funzione esponenziale. Pertanto @ e t dipenderanno sempre tra loro come segue 
_logla—x) 
crea 
Art. 2. Nel Calcolo delle differenze, le grandezze che hanno la differenza 
nulla si dicono costanti; ma s'intende che possono essere funzioni periodiche, aventi 
i 
{ol 
È Ve Oy = 0. 
