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Teorema. Le funzioni y %,.., % della variabile «x avranno o 
.no tra loro una relazione lineare omogenea a coefficienti della 
specie o secondo che sarà identicamente nullo o no il’ determinante 
© ° CI 
Gy Qlasto È (o lt0®) è 
Infatti, se si ammette che tra le y abbia luogo una relazione di tale natura, 
cioè che sia 
(9) Q1Y1 TT Pr Ya tn + Qn URN106 
è subito visto che il © dev'essere nullo; poichè, insieme con questa relazione, sus- 
sistono tutte le 
pi 0 + 02 Wa + «+ 0n 0a = 0 
01 0%, + pg 0/2 SEME dm 0 
in cui essa si converte alla fine di uno, due, ... giri di x. 
Si tratta dunque di dimostrare, che, reciprocamente, la © =0 trae seco una 
relazione della natura (9). 
Comincio dal caso di n= 2. Se sia 
Yi Y DIA 0, YA 
=0 cioè 7--=-— 
Oy 9a 0/2 Ya 
sarà 
‘Dunque il rapporto =” ripiglierà alla fine del giro di 4 il valore stesso iniziale, 
2 
cioè sarà funzione monodroma. Indicandolo con — -f2 , avremo 
(051 
dY+ 02 Y,=0. 
A compiere la dimostrazione, basterà ora far vedere, che, ammesso vero il teo- 
rema per qualunque © dell’ordine n — 1, lo sarà anche per qualunque © dell’ or- 
dine n. Suppongo dunque zero il © d’ordine n formato colle funzioni 71; 2, «3 Yn 
Applicando a questo determinante la trasformazione data dal sig. Hermite a pag. 25 
e 26 del tomo XIV del Giornale del sig. Liouville (') avremo: 
I ya. 0y=y-0ya : Yn da = Ya -9Yn 
Oya yi 9a Oya è ny — 9a 9Y n 
O=(—1)"10y1.62y1...0"72y, 
|GR=2y9, GRAY yy. 1/99" 2y n PA yy «Gay, 
(1) Riprodotta nel $ 5 dei Determinanti del sig. Brioschi. 
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