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Ad una equazione differenziale lineare si accompagna, per 
ciascun valore particolare della variabile indipendente, una equa- 
zione alle differenze, ossia in 0, pure lineare e dello stesso or- 
dine, ma con coefficienti costanti, che qualifica il modo di com- 
portarsi degli integrali dell’equazione differenziale intorno a 
quel valore particolare. 
Sia x; il valore particolare da considerarsi, e suppongansi monotropi i coeffi- 
cienti p in una corona di centro 21. 
Formisi con le m+-1 funzioni 
(12) Vo DI a o DAY 
il determinante © che chiameremo H_ 
Yi io Ig 
(13) Ele 09 0Dgyg 5 01099 | i 
| Qny EDRN 21099) 
Poichè per le funzioni analitiche y, i simboli d’operazione 9 e D sono commutativi, 
cioè hanno la proprietà 
0Dy=D09y, FD 0%7k 
si potrà scrivere H anche come segue 
y Dy . D"y 
(14) H=| 9 DOy .D"0y 
ey Dezy DEE 
H è dunque formato ad uno stesso modo rispetto al simbolo D ed al simbolo 9, 
ossia è ad un tempo determinante © rispetto alle funzioni (12) e determinante D 
rispetto alle funzioni 
(15). Yo 0) o 1cbero 9 9 
Ora, se y significhi l’integrale completo della (11), le funzioni (12) hanno tra 
loro una relazione lineare a coefficienti monotropi, che tale appunto è la (11) mede- 
sima. Epperò il determinante (13), della specie ©, sarà zero. Ma essendo zero il 
determinante H, considerato come in (14) della specie ID, le funzioni (15) avranno 
tra loro una relazione lineare a coefficienti costanti 
(16) Ap 0"y + A40"y +... + Am-10Y + Any=0. 
Quest’ equazione, a cui devono soddisfare tutti gli integrali della (11), è l’ equa- 
zione alle differenze che dicevamo accompagnarsi all’ equazione 
differenziale, relativamente al punto 21. 
Dallo stesso determinante H deducesi poi anche, viceversa, che ad una equa- 
zione alle differenze a coefficienti costanti s’ accompagna sempre un’equazione diffe- 
renziale a coefficienti monotropi nella corona di cui si tratta. Perocchè, sussistendo 
la (16), il determinante H considerato sotto l’ aspetto (14) dev’ essere zero; ed es- 
sendo quindi zero anche sotto l’ aspetto (13), ne segue che tra le funzioni (12) deve 
sussistere una relazione lineare a coefficienti monotropi. 
