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RELAZIONE 
letta dal Socio G. BATTAGLINI, relatore, a nome anche del Socio E. BETTI, 
nella seduta del 6 maggio 1888 sopra la Memoria del dott. ERNESTO 
Pascat, intitolata: Sopra le relazioni che possono sussistere identica 
mente tra formazioni simboliche del tipo invariantivo nella teoria delle 
forme algebriche. 
« Il teorema fondamentale, che forma l'oggetto di questa Memoria, fu enunciato 
dal Pascal in una comunicazione da lui fatta, nel febbraio scorso, alla r. Accademia 
dei Lincei; e per le forme binarie e le ternarie è stato già dimostrato dal Gordan, 
e dallo Study. — È noto che per le forme algebriche, di un numero qualunque di 
variabili, esistono alcune relazioni d'identità, del tipo invariantivo, tra i simboli di 
queste forme e le variabili, dette formole di riduzione pel calcolo simbolico, le 
quali possono prendere cinque forme diverse, e che il Pascal chiama le identità zero. 
Ora il teorema di cui si tratta è il seguente: « Se si ha un’ espressione invarian- 
« tiva, relativa ad un sistema di forme algebriche, omogenea in ciascuna serie di 
« coefficienti e di variabili, d77:dueibile (cioè che non sia il prodotto di due o più 
« altre analoghe espressioni) la quale sia identicamente zero, essa potrà sempre essere 
verificata adoperando opportunamente le identità zero, formate con i soli elementi 
« compresi nella espressione invariantiva proposta »; in altri termini: « se si ha 
« un'espressione invariantiva, irriducibile e zero, essa, aggiungendo e togliendo certi 
termini, e poi raggruppandoli in modo conveniente con quelli della data espressione, 
potrà sempre ridursi ad un aggregato di parti, di cui ciascuna contenga per fattore 
« almeno una delle identità zero, formate con i soli elementi che entrano nella espres- 
« sione proposta ». La dimostrazione &enerale, abbastanza complicata, di questo teo- 
rema, consiste in sostanza nell’applicare all'espressione proposta lo sviluppo di Gordan, 
col quale essa si cambia in un aggregato di termini, ciascuno dei quali è il prodotto 
di una potenza di covarianti identici per polari di alcune altre espressioni, che diremo 
derivate, contenenti un elemento di meno, sia una variabile o un coefficiente; e se il 
teorema è vero per queste espressioni derivate, sarà ancor vero per l’espressione pro- 
posta. — L'autore fa vedere che se il teorema sussiste per una certa espressione, si 
verificherà anche per una sua polare qualunque, sia questa relativa ai coefficienti o 
alle variabili. Considerando poi alcune (rasformate di una data espressione, che si 
deducono da essa mutando una variabile o un coefficiente, o più di essi, in serie di 
più coefficienti, con un'analisi minuta dei diversi casi che si possono presentare, l’au- 
tore giunge a far vedere che se il teorema si verifica per una trasformata di una 
data espressione, si verificherà ancora per questa. Finalmente, giovandosi di alcune 
proposizioni stabilite dal Capelli nella sua Memoria Su fondamenti di una teoria 
generale delle forme algebriche il Pascal perviene a dimostrare il teorema proposto. 
« Crediamo che questo lavoro possa essere inserito negli Atti della r. Accademia 
dei Lincei. » 
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