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« tali formazioni, e che sia identicamente zero, essa può sempre verificarsi con pro- 
« cesso sempre intero, adoperando solo opportunamente idenzità-cero, formate solo 
« cogli elementi compresi nella formazione invariantiva e non con altri ». 
Questo teorema può anche enunciarsi in modo diverso. Giacchè è chiaro che se 
si ha una funzione razionale ed intera in #, y, 4,... che si annulli per 4=0, 
y=0,... essa sarà formata con un assieme di termini di cui ognuno contenga per 
fattore almeno una delle quantità 4, y,... E analogamente, se la detta funzione 
razionale ed intera si annulla invece peru +a+4+..=0;y+d0+0%+..==0,.., 
essa potrà sempre ridursi ad una somma di termini di cui ciascuno, contenga per 
fattore almeno una delle espressioni « +4+-a+@+..., y+0%+0+..; perchè 
posto ar +a+d +... =& ;y+040%+..=y",.., eliminando dalla fun- 
zione 4, Y,-.., e introducendo in conseguenza %',y",.. si ottiene un risultato che 
deve annullarsi per 2 =0,y=0,... 
Applicando questi principî al nostro teorema, possiamo dire che esso può anche 
enunciarsi così: 
« Se si ha una formazione ZZ irreducibile e zero, essa potrà sempre ridursi, ag- 
« giungendo e togliendo certi termini e poi raggruppandoli con quelli di ZZ in modo 
« conveniente, ad una somma di parti di cui ciascuna contenga per fattore almeno 
«una delle identità-zero formate solo cogli elementi di cui risulta /Z ». 
Reciprocamente questo secondo enunciato porta al primo. 
Poichè i varî termini di qualunque idertità-cero sono sempre omogenei rispetto 
a ciascuna serie di coefficienti e di variabili, si ricava che questi varî termini ag- 
giunti e tolti a 7, di cui è parola in quest'ultimo enunciato, debbono essere fra loro 
e con i termini di /Z omogenei in ciascuna serie di coefficienti e variabili. Avvertiamo 
in ultimo che noi naturalmente intendiamo che l'annullarsi di / sia di tale natura 
che sussista quando i coefficienti s:7200l7c) che in essa vi compariscono si considerino 
come effettivi; caso al quale possiamo sempre ridurci prendendo la media aritmetica 
di tutte le espressioni che si ottengono da / permutandovi i simboli equivalenti in 
tutti i modi possibili fra loro. 
Sun 
Alla dimostrazione del teorema premettiamo quella di varî lemmi. 
Lemma 1°: « Se il teorema si verifica per una certa formazione /7, si verifi- 
« cherà per una qualunque polare di 47, polare fatta o fra coefficienti o fra variabili ». 
Ed infatti supponiamo posta Z sotto la forma data dal secondo enunciato del 
teorema, cioè posto 
H=A-a+B-b+-. 
dove A ,B,... sono identità-zero. 
Operando la polare sul secondo membro, le identità-zero rimangono tali, sebbene 
cangino di forma, e quindi, si otterrà un risultato dello stesso tipo di quello da cui 
sì è partiti. 
LEMMA 2°: « Reciprocamente, se il teorema si verifica per la polare di una 
« espressione /Z, si verificherà per / ». 
