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LEMMA 10°: « Il teorema fondamentale si verifica per l'identità di Gordan, in- 
« tendiamo, cioè dire, che la differenza fra il primo e secondo membro dello sviluppo 
« di Gordan applicato quante volte si voglia, e su una funzione del tipo invarian- 
« tivo ma formata in modo affatto generale, si può verificare identicamente zero, fa- 
« cendo uso solo di opportune identità-zero ». 
Intendiamo qui parlare dello sviluppo di Gordan esteso dal prof. Capelli alle 
forme ennarie in una pregevole Memoria ('). 
Per dimostrare questo lemma procediamo per gradi e supporremo prima il caso 
semplice che la funzione 77 su cui si operi risulti solo di aggregato di fattori lineari 
relativamente alle variabili rispetto cui vuole applicarsi la formola di Gordan. 
Sieno 41 42... 4, le n serie di variabili coniugate fra le quali si applica una 
prima volta la formola. Comparisce allora in ogni termine il determinante (#13... 4)" 
moltiplicato per v determinanti fatti fra coefficienti, del tipo cioè (4,4... @). Ado- 
perando quindi identità-zero del tipo terzo ci riduciamo ad un aggregato di forme 
lineari con sole x per variabili, perchè ogni altro fattore, contenente un'altra variabile, 
contenuto in 77, non viene alterato dallo sviluppo di Gordan, e quindi è fattore comune 
al primo e secondo membro. 
Per il lemma 7° si riconosce intanto per questo caso la verità dell’assunto. 
Supponiamo ora che si applichi più volte lo sviluppo di Gordan. Supponiamolo 
applicato una prima volta e il secondo membro diventi 
M=Ì (93 00 BP (Ca VU (CIG Gp UU = Mg 
dove 4-4 4' +4. =» e I" è una funzione formata di soli fattori lineari colle sole 
variabili 243... &n Cn+1 +, ® 4 è una certa operazione di polare. 
Riapplicando a Z lo stesso sviluppo con che si abbia 77°,, abbiamo avanti dimo- 
strato che con sole identità-zero si verifica la eguaglianza di /Z° e del suo sviluppo, 
cioè il teorema fondamentale si verifica per 2 — /7,, onde si verificherà ancora 
(lemma 1°) per 4(47 — J7;) = 451 — 41l',, dunque con sole identità-zero possiamo 
ridurci da 4/7, a 411, ma con sole identità-zero possiamo ridurci da 74, a 77 dunque 
il teorema sussiste anche che si supponga applicata due volte, e analogamente più 
volte, la formola di Gordan. 
Resta a dimostrare che il teorema fondamentale si verifica ancora per lo svi- 
luppo di Gordan applicato ad una funzione 77 qualunque, ma sempre del tipo inva- 
riantivo. 
Supponiamo, come avanti, che le variabili coniugate per una prima applicazione 
dello sviluppo di Gordan sieno x, 3... #4. Possiamo sempre supporre /Z monomio, 
ripetendo lo stesso ragionamento su ciascuno dei suoi termini se è polinomio. 
Allora se in ZZ comparisce il determinante (21 <>... <a), questo si riprodurrà 
alla stessa potenza in tutti i termini dello sviluppo, e quindi è un fattore comune a 
tutti i termini, che sì può sopprimere. 
Sono da considerarsi allora solo i determinanti in cui comparisca almeno una 
delle 2, e almeno un’ altra variabile y. 
(1) Capelli, op. cit. 
