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Mps Sulle forme differenziali quadratiche indefinite. 
Memoria del Corrispondente LUIGI BIANCHI 
letta nella seduta del 4 novembre 1888. 
PREFAZIONE 
Le ricerche sui sistemi tripli ortogonali di Weingarten, contenute nella mia Me- 
moria del tomo XIII, serie 2% degli Annali di matematica e in quella del vol. IV, 
serie 4% degli Atti di questa r. Accademia ('), trattano il problema di ridurre una 
forma differenziale quadratica positiva a tre variabili, colla curvatura nulla o costante, 
alla forma ortogonale 
H,? du* + H,? dv? + H3* dw® , 
in guisa che anche la forma parziale a due variabili 
H,} du* + H,° dv° 
sia a curvatura costante. 
La presente Memoria ha per oggetto principale di dimostrare come i risultati 
prima ottenuti si possano estendere al caso di forme indefinite (non positive) a cur- 
vatura costante. 1 
È ben noto che anche a tali forme si può dare un significato geometrico, assu- 
mendole come espressioni del quadrato dell'elemento lineare di uno spazio a curva- 
tura costante. Per tali spazî vengono però a sussistere alcune proposizioni, che nel- 
l'ordinaria geometria si escludono, come ad esempio la esistenza di punti non coin- 
cidenti a distanza nulla, l'impossibilità di ricondurre un piano, per rotazione attorno 
ad una sua retta, alla sua posizione primitiva ecc. (2). 
Comincio dal trattare il caso delle forme indefinite a curvatura nulla, che sono 
trasformabili nella forma normale 
da 4- dy? — de? 
o nella opposta. La corrispondente geometria è quella parabolica, ma la quadrica 
assoluto in luogo di degenerare in una conica immaginaria, come accade nell’ordinaria 
geometria euclidea, degenera in una conica reale. 
(1) Citerò questi due lavori rispettivamente con (M. A), (M. L). 
(2) Veggasi: Klein, Veder die nicht-euklidische Geometrie (Math. Annalen, IV®® Band, p. 590). — 
Poincaré, Sur les hypothèses fondamentales de la Géométrie (Bulletin de la Société mathématique, 
tome XV, p. 206). 
