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Stabilisco nel $ II le formole generali relative alle linee ed ai raggi principali 
di curvatura di una superficie immersa in questo spazio, che indico per brevità col 
nome di spazio S. Queste formole permettono di estendere anche alle superficie di S 
il teorema di Weingarten sulle evolute. 
Applico nel $ III le formole trovate alle superficie d'area minima in S, super- 
ficie la cui ricerca dipende dalla integrazione dell'equazione a derivate parziali: 
(A) (1 —9)r + 2pgs+(1-p)ei=0. 
Dimostro come questa equazione si possa ricondurre alla nota equazione, integrata 
da Liouville, 
DENSO 
dI dY 
e come si possa integrare direttamente con formole analoghe a quelle di Weierstrass 
per le ordinarie superficie minime. 
Nel $ IV tratto la questione, analoga al problema di Plateau, di determinare 
una porzione semplicemente connessa di superficie è = <(,y), integrale della (A), 
che sia terminata ad un contorno chiuso assegnato e nell'interno sia priva di punti 
singolari. 
Se il contorno dato è costituito di tratti rettilinei, oppure se è un contorno for- 
mato, al modo di Schwarz, con tratti rettilinei e con piani i quali ultimi debbano 
tagliare ortogonalmente la superficie, il problema si riduce a rappresentare in modo 
conforme l’area racchiusa sulla pseudosfera da un poligono geodetico sopra un mezzo 
piano. La continuazione analitica della porzione così limitata di superficie si compone 
d' infiniti pezzi, i quali sono contornati nel medesimo modo da tratti rettilinei'e da 
piani e in ogni porzione finita di spazio si addensano in generale in numero infinito. 
Se si vuole al contrario che tale continuazione analitica formi una superficie regolar- 
mente diffusa per lo spazio, come le ordinarie superficie minime studiate da Schwarz 
e Neovius, occorre che il poligono geodetico sulla pseudosfera sia il semi-poligono 
generatore di un gruppo Fuchsiano. A queste superficie, la cui teoria viene così @ 
collegarsi a quella delle funzioni Fuchsiane do il nome di superficie Fuchsiane (1). 
Qui mi limito a constatare, in un caso abbastanza esteso, l'esistenza di tali superficie, 
dimostrando che ad ogni gruppo Fuchsiano simmetrico della 1% famiglia corrisponde 
sempre un certo numero di superficie Fuchsiane. Spero di ritornare in seguito su questo 
argomento che mi sembra offrire, sì dal punto di vista geometrico che analitico un'ap- 
plicazione interessante delle helle teorie del sig. Poincaré. 
Il $ V tratta delle superficie a curvatura costante nello spazio S. Ivi è dimo- 
strato che la trasformazione di Baàcklund conserva qui ancora la sua validità e in 
particolare la trasformazione complementare è ancora applicabile alle superficie pseudo- 
sferiche. Ne risulta nuovamente, per queste ultime superficie, l’esistenza dei sistemi 
ciclici di Ribancour (n. 27). 
Vengo quindi al problema fondamentale, enunciato in principio, che geometrica- 
mente equivale alla ricerca dei sistemi di Weingarten nei nuovi spazî, sistemi di cui 
(1) Alcune notizie su queste superficie ho già pubblicato nei Rendiconti, vol. IV, fascicolo 6°, 
settembre 1888. 
