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racchiudono l'angolo e con c,d le due rette (coniugate immaginarie) che dal vertice 
dell'angolo vanno ai punti ove il suo piano interseca il circolo assoluto, il valore @ 
dell'angolo si otterrà dividendo per 27 il logaritmo del rapporto anarmonico [abcd] 
delle quattro rette 4, 2%, c, 4. Nel 2° caso invece le rette c.d sono reali e @ si 
ottiene dividendo per 2 il logaritmo di [«2ed] (cfr. Klein, 1. e. (!). 
Nello spazio S meritano speciale menzione quelle curve, alle quali, secondo la 
formola 
USATA RAZZA 
deve attribuirsi una lunghezza nulla. Nello spazio euclideo rappresentativo sono evi- 
dentemente definite dalla proprietà che la loro tangente è inclinata costantemente 
di 45° sull'asse 3; esse sono cioè eliche di cilindri paralleli all'asse < (di base ar- 
bitraria), che ne tagliano le generatrici sotto l'angolo di 45°. 
6. Consideriamo ora nello spazio S una superficie qualunque X, la cui equa- 
zione sia 
82800) 
e poniamo, come al solito: 
Da dB di 
dio 
De 
L'elemento lineare della superficie X nello spazio S sarà dato da 
(1) ds = (1— p°) de° — 2pq de dy+(1— g°) dy?. 
Il discriminante 
1 E p° on q° 
di questa forma differenziale sarà positivo nei punti ove il piano tangente a X è di 1* 
specie, punti che diremo di 1* specie, e negativo nei punti ove il piano tangente è 
di 2* specie (punti di 2* specie). In generale una superficie X conterrà una regione 
di punti di 1° specie ed una regione di punti di 2° specie; ma noi considereremo 
sempre l'una regione separatamente dall'altra. Diremo perciò che una superficie è 
di 1° o 2° specie, secondo che i suoi piani tangenti sono di 1% o 2* specie. Sopra 
(1) Se 7 è una retta qualunque dello spazio, si tiri per l’origine O una retta parallela e, a 
partire da O si stacchi un segmento OM eguale all’unità lineare. Le coordinate X, Y, Z dell’estremo 
M soddisfano all’equazione 
X+Y-Z=s 1, 
secondochè la retta » è di 1% o 22 specie. Ove si considerino due direzioni (X, Y, Z), (X, Y°, 2°) 
della medesima specie e si indichi con @ il loro angolo sì troverà facilmente, ricorrendo alla defi- 
nizione data dell’angolo: i 
cos6= XX + YY — Z2/ 
se l’angolo è di 12 specie e invece 
cosh6= XX + YY" — 22’ 
se l’angolo è di 2% specie, Con ciò resta giustificato il nome di coseni di direzione (circolari 0 iper- 
bolici) che daremo a X, Y, Z. 
Quando poi le due direzioni (X, Y, 2) (X, Y', Z) fossero di specie contraria, l’angolo 6 sa- 
rebbe immaginario, ma basterebbe cangiare il segno della quantità sotto il segno logaritmico per 
ottenere 
senh 0/= XX° 4- YY° — Z2/. 
