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una superficie di 1% specie le linee di lunghezza nulla, definite dalla equazione dif- 
ferenziale 
dst=(1— p°) de°—2pq de dy+(1— gg) dj =0, 
sono immaginarie, mentre esse sono invece reali sulle superficie di 2* specie. Un'altra 
importante distinzione fra le due specie di superficie sussiste riguardo alle loro linee 
di curvatura ('). La equazione differenziale di queste linee si ottiene eguagliando a 
zero il Jacobiano della forma differenziale (1) e dell'altra 
alla rda* + 2s de dy + tdy3; 
essa sì serive cioè: 
(A) (ll 2)de—pady, —pgdet+ (1-9) _; 
| rdae 4- sdy sdae 4- tdy i 
Ora se la superficie è = (4, y) è di 1 specie, il discriminante della forma (1) 
è positivo, quello della forma (A) è per conseguenza negativo e perciò le linee di 
curvatura sono certamente reali. Se si tratta invece di una superficie di 2* specie, 
le linee di curvatura possono essere reali o immaginarie. In questo lavoro però, ove 
non si avverta esplicitamente il contrario, fra le superficie di 2* specie considereremo 
solo quelle le cui linee di curvatura sono reali. 
7. Supponiamo che la forma quadratica fondamentale 
da° 4 dy° — dz* 
sia trasformabile nell'altra 
adu + bdv + cdw, 
dove 4, è, c sono funzioni delle variabili «, v, w. In primo luogo dovranno due 
dei coefficienti 4, 4, c essere positivi, e il terzo negativo; siano p. e. 4,0 i due 
positivi e poniamo 
ae be e== E°, 
Affinchè la forma 
H,? du? + H.* dv®? — H;? duw? 
sia a curvatura nulla, dovranno essere verificate le seguenti equazioni, che tengono 
qui il luogo delle equazioni di Lamé per lo spazio euclideo: 
èd°H, - 193 èdH 1 9H13dH3 
vw H, dd dw.' Hi dw. dv 
d°H, _ 1 9dH, Hz , 1 èH } 3H, 
(1 Qwdu Hz dw du HI CDO 
DER HI IH, 
Quo OH du dv i Bb do dw 
d È di di i i _1 993 
QUNH Du do \\H. dv Hs? dw dw 
(11) Da De ua dI i di WIR dH» dHs3 = 
dv \H, dv dw \ Hz dw Hit du du 
Ii d (Hi o) 1 3Hzd9H _.q 
dwo\ Hz dwv du \ Hi du ESODO 3 
(3) Come nello spazio euclideo, così nello spazio S una linea L tracciata sopra una superficie X 
sì dirà linea di curvatura se le normali a x lungo L sono le tangenti di una curva nello spazio. 
