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e analogamente per 7°, <. Queste formole dimostrano che le normali alla X lungo 
una linea x= cost! inviluppano una curva C e la porzione di normale compresa fra 
il piede e il punto di contatto con C è eguale a 71; dunque 7, è il raggio princi- 
pale di curvatura di X relativo alla linea «= cost. Similmente dicasi per 7%. 
Le formole (11) danno dunque le coordinate del 1° centro di curvatura di x e 
similmente le altre 
(11°) = Lo Na Yi = yin Vo, 8 = 34 ra Zs 
danno quelle del 2° centro. 
Dalla precedente discussione risulta il teorema : 
Se una superficie X di 1° specie si riferisce alle sue linee di cur- 
vatura v, v e con 
(9) ds — Kdu® + Gdv® 
si indica il quadrato del suo elemento lineare e con ,,, 7, i suoi 
raggi principali di curvatura, fra E, G, 7,, 7» hanno luogo le relazioni 
(8) (9). Inversamente se E, G, 71, 7, sono quattro funzioni di «, v che 
soddisfino le (8) (9), esiste una corrispondente superficie Xx di 1° 
specie, il cui elemento lineare, riferito alle linee di curvatura, è 
dato dalla (d) e di cui 7, 7» sono i raggi principali di curvatura. 
Nel caso che la superficie XY sia di 2* specie i calcoli sono del tutto simili ai 
precedenti. L'elemento lineare della superficie prende allora la forma 
dsì — Edu? — Gdo; 
i raggi principali di curvatura 7, 7, soddisfano ancora alle (8), ma in luogo della (9) 
si ha l'altra 
0») 1 I Gaft 6 î) d (1 2) 
Pi Pa CH EG du a du dv (7 dv 1) 
In fine alle formole (10) vengono sostituite le seguenti : 
d x d E so] r CdL Ù (E 
| do I E nulla. DG _ EG 
\ du I Go dv Pa dv j Ed“ 
; dI 2 d /R (o 2 J re /G G 
(10°) ) 2jdbi, Lo LA o Id G we SS x, 
Î dU pi dv dv VE du (A 
DE E /G 
| rta CA da IS ? DE pra G X6 Ò 
\ d% Po dV PI 
Notiamo poi che le formole («')(8') diventano rispettivamente 
(12) = D VT x 2) du + G (i-2) de — dw 
2 
(12’) (= B(1- 2) du? — G(1 o] dv + dw®, 
2 1 
valendo la prima se la superficie X° è di 1 specie, la seconda se XY è di 2* specie. 
9. La definizione di direzioni coniugate sopra una superficie XY, che si dà nel 
caso della geometria euclidea, è indipendente dalla speciale determinazione metrica 
dello spazio; essa può quindi ripetersi invariata per le superficie dello spazio S. 
Ciò posto, siano MM', MM" due elementi lineari coniugati sopra x, e indichiamo 
col simbolo 4 gli incrementi subìti da funzioni qualunque della posizione di M sopra £, 
CLASSE, DI SCIENZE FISICHE ecc. — Memorie — Ser. 4%. Vol, V°, 70 
