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quando M si sposta nel punto infinitamente vicino M', e col simbolo d gli analoghi 
incrementi quando M si sposta secondo la direzione coniugata M M". Per esprimere 
che le due direzioni, secondo le quali hanno luogo gli incrementi 4, d, sono conivigate, 
troviamo la formola 
(4) dae dX3 + dyòY3 — de 043 = 0 (!), 
dove .7, y,z sono le coordinate di M e X} Y, 2 1 coseni di direzione della normale. 
Supponiamo la superficie X riferita, come ai due numeri precedenti, alle sue 
linee di curvatura v, v. Se la superficie X è di 1* specie valgono le formole (10) 
e (4) e la formola sopra scritta (4) diviene 
(B° 
(5) e du du + do do= 03 
Pa 
se invece la superficie X è di 2* specie, Si licaido le (10*) (4*) la (a) diventa 
DI 
(5) Di du du i dv dvi== 0. 
1 
Una linea L tracciata sopra XY si dirà «ss//o/éca quando tutte le sue tangenti 
siano coniugate a sè medesime, ossia quando in ogni punto di L il piano osculatore 
della linea coincida col piano tangente della superficie (?). 
Per le (2) (2°) l'equazione differenziale delle linee assintotiche sarà 
E 
7a 
(13) du + = 
se la superficie XY è di 1° eo mentre essa sarà data da 
rai 
= (0) 
(14) SR 
se la superficie XY è di 2 specie. 
Per le superficie di 1* specie esiste dunque un doppio sistema di linee assin- 
totiche 7ea/7 quando 7,, 7» abbiano segno contrario. L'opposto accade per le super- 
ficie di 2* specie. 
Abis. Come nel caso dello spazio euclideo, vi è luogo di considerare per la super- 
ficie data X la superficie luogo dei suoi centri di curvatura, superficie composta di 
due falde e che si dirà anche qui la evoluta di X. Gli elementi lineari ds, ds, delle 
due falde dell’evoluta si otterranno dalle formole generali (12), (12’) n. 8 facendovi 
w=T, 0 wWw=Ts. Si avrà così 
\ dsé = B(1- È 2) de — dr 
- 
| = di 2) dv® — dr? 
Pi 
(15) 
(1) A causa di 
Xs de 4 Ys dy — Zs de= 
Xa dx + Ys dy — Z302=0 
essa può anche scriversi 
dx dXs 4 dy dYs — da dL3,=0.. 
(®) Naturalmente una superficie > ha le medesime linee assintotiche, tanto se si pensa come 
esistente nello spazio S, quanto nello spazio euclideo. 
