— 556 — 
E sarebbe pur facile dimostrare che sussiste il teorema inverso (ef. M. L. n. 7). 
Osservazione. Se sì suppone che la differenza 7, — 7» dei raggi di curvatura 
della evolvente sia costante, le (15') (16°) dimostrano che le due falde dell’evoluta 
sono superficie a curvatura costante. La trasformazione complementare è quindi appli- 
cabile anche nello spazio S a queste superficie. Ma di questa trasformazione come 
di quella più generale di Backlund si tratterà più diffusamente al SV. 
SIM. 
Le superficie d'area minima nello spazio S. 
10. L'elemento lineare di una superficie s = < (4, 7) essendo dato da 
ds°=(1—p*) dxe®° — 2pqdedy+(1—-q°)dy, 
il suo elemento d'area sarà 
do =V1—-p—q*dady. 
Se fra tutte le superficie terminate ad un contorno chiuso fisso si cerca quella 
d'area minima, si dovrà render minimo l'integrale doppio 
| (ig dedy, 
i limiti essendo fissi. Ne risulta che la funzione incognita # deve soddisfare all’equa- 
zione a derivate parziali 
dae pl-p—g  WVI-p—- 
ossia 
(1) (1-9) +2pgs+(1-=-p)é=0 (0). 
Applicando le formole citate di Voss (Math. Annalen Bd. 16) si trova facilmente 
che la (1) esprime la proprietà geometrica della superficie cercata di avere nulla la 
somma dei raggi principali di curvatura. Le superficie dotate di quest'ultima proprietà 
sì diranno perciò superficie d'area minima. 
Applichiamo le formole generali del paragrafo precedente a queste superficie. 
Avendosi qui 
PI + 9 = 0 , 
se sì suppone 73 positivo, dalle (17) n. 9°S si vede che si può porre 
pe =7 
e quindi, indicanto con 9 una conveniente funzione di %, %, 
Pa = 
rv, = e28 ret e?0. 
(2) Confrontandola colla equazione 
(1°) (1+9°)x-2pgqgs+(1+p?)t=0 
che caratterizza le ordinarie superficie minime, si vede che ogni integrale 2 dell’una, diviso per Vai, dà 
un integrale dell'altra. Ove non si faccia distinzione fra reale ed immaginario le due equazioni non 
differiscono fra di loro. Ma qui, dove appunto ci proponiamo di trovare gli integrali rea? della (1) 
(o, se si vuole, gli integrali puramente immaginari della (1°)) si rende necessario un calcolo diretto, 
il quale ci condurrà poi, come si vedrà al seguente paragrafo nella trattazione del problema di Pla- 
teau, a risultati che difficilmente potrebbero stabilirsi per altra via. 7 
