‘— (007 — 
Se la superficie è di 1* specie si avrà pel suo elemento lineare 
(2) ds? = e? (du + dv) 
e la funzione @ dovrà soddisfare la equazione a derivate parziali che segue dalla (9) n. 8 
O 29 9°0 
(3) È + +e?=0 
RUAMNRTIOE 
Se invece la superficie cercata è di 2* specie si avrà pel suo elemento lineare 
(2°) ds = e? (du — dv?) 
e 6 soddisferà l'equazione (cf. (9*) n. 8) 
d°0 d°0 
av pi cad = 9-20 
©) WD 
Inversamente ad ogni soluzione della (3) o della (3') corrisponderà una super- 
ficie minima di 1% o 2* specie, la cui determinazione completa, come ora vedremo, 
dipende solo da quadrature. Ma queste equazioni (3) (3°), con semplici sostituzioni, 
si riducono alla equazione di Liouville di cui sì conosce l’ integrale generale (nn. 3, 4); 
ne segue che si può anche trovare l'integrale della (1). 
Notiamo che sulle superficie minime di 1* specie le linee assintotiche sono reali 
ed hanno per equazione (cf. n. 9) 
u—-v = coste CA CI 
mentre su quelle di 2* specie le linee assintotiche sono immaginarie. 
11. Dai risultati precedenti è facile dedurre le formole, analoghe a quelle di 
Monge e Weierstrass per le ordinarie superficie minime, che danno per quadrature 
l'integrale generale della (1) con due funzioni arbitrarie. 
Ritenendo le notazioni del S II n. 7, i coseni di direzione X3, Yz, Z; della 
normale alla superficie soddisfano l'equazione 
(4) VEE NFIZIAAZA] 
o l'altra 
(4) X3° H+ Wes yi L3° = Il 
secondo che la superficie è di 1% o 2* specie. 
Possiamo anche considerare Xz Yz Z; come coordinate di un punto mobile sopra 
una sfera rappresentativa di 1% o 2* specie. La rappresentazione è fatta al modo di 
Gauss, secondo la legge di parallelismo delle normali nei punti corrispondenti della 
superficie e della sfera. Se diciamo ds’ l'elemento lineare di questa sfera risulta subito 
dalle (10), (10*) n. 8 la formola 
(5) ds? — e?0 (du + dv?) nel 1° caso 
e 
(54) ds*= e (du — dv?) nel 2° caso. 
Si vede di qui che la rappresentazione sferica di Gauss per le superficie minime 
dello spazio S conserva ancora la similitudine delle parti infinitesime. 
Per trovare le formole accennate da principio si può procedere nello stesso modo 
come per stabilire le formole di Weierstrass per le ordinarie superficie minime (1). 
Eseguiremo questi calcoli per le superficie di 2* specie, l’altro caso essendo ancora 
più da vicino collegato coll’ordinario. 
(1) Vedi Schwarz, J/iscellen aus dem Gebiete der Minimalflichen. 
