— 560 — 
loro curve generatrici sono eliche di cilindri paralleli all'asse e e ne tagliano le gene- 
ratrici sotto l'angolo di 45°. Queste curve, come già si è detto al n. 5, rappresen- 
tano nello spazio S le linee di lunghezza nulla (!). 
Se nelle (8) poniamo le funzioni arbitrarie F(£), F1(») rispettivamente eguali 
alle derivate terze g"(5), W(,) di due funzioni arbitrarie g(£), 4(7), esse possono 
seriversi, senza segni di integrazione: 
< 
ra= x 1—-£2)gp'"(£) + 2Ep'(é) — 29(£) sa { 1) (Mt MM 24 (1) 
\ 
EZIO, 
(10)! y=}289" ©)—-29/(8){+}2,4"()—2% (7) 
=) — 29/8) 4-29 + 41) 2 MM + 24 (1)! 
gun 
Da queste formole risulta che se g(é), v(#) sono funzioni algebriche dei loro 
argomenti, la corrispondente superficie sarà algebrica. Ma sussiste anche la proposi- 
zione inversa : 
Tutte le superficie minime di 2* specie algebriche si ottengono 
dalle (10) ponendo per g(é) una funzione algebrica di È e per w(n) 
una funzione algebrica di » (?). 
13. Passiamo a trattare delle superficie d'area minima di 1° specie. Alle formole 
relative a queste superficie si potrebbe pervenire con calcoli del tutto simili a quelli 
fatti al n. 11 per stabilire le formole (8); ma esse si possono anche dedurre subito 
dalle (8) supponendo che È, 7, anzichè variabili reali, siano variabili complesse conzu- 
gate, che indicheremo con w ©, e le funzioni F, F, siano pure coniugate. In tal caso 
1) Fra le superficie in questione sono notevoli quelle che hanno per curve generatrici eliche 
te] 
circolari di egual raggio. Se le eliche girano nel medesimo senso si ottiene l’ordinaria elicoide rigata 
d’area minima, se girano in senso contrario la superficie di rotazione che ha per meridiano una sinu- 
soide (vedi Voss, Mathematische Annalen Bd. 19, p. 13-15). 
2) E infatti la superficie (10) può essere algebrica solo quando le due eliche eeneratrici sono 
le) te, 
algebriche, poichè se E, E sono due diverse posizioni di una delle eliche seneratrici, la traslazione 
ba) 5 
che porta E in E’ trasporta la superficie 2 in una nuova posizione 2° e la curva E’ fa parte della 
intersezione di due superficie algebriche >, 2°. Ora se l’elica 
| e=(1— 8)g! 259 24 
Y = 2g” mer. 2p" 
Ì z=(1+ é&)p" — 28p + 2 
è algebrica, saranno 2, y funzioni algebriche di 2 e quindi 
() o OSE 
a 
dé 
sarà pure funzione algebrica di 2 e perciò 2, come anche #, y dovranno essere funzioni algebriche 
di é. Ne risulta che 
è funzione algebrica di £É c.d, d. 
