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formola che appartiene altresì all'elemento lineare dell’ordinaria pseudosfera. Posto 
infatti 
1) = |) PUET® == ME 5 
si ha 
— (= dodo, = da* + e? d#* (1). 
Assegnata dunque una superficie minima X di 1° specie, cioè data la funzione 
F(w), possiamo dire che ne viene determinata una rappresentazione conforme della 
pseudosfera, che porta i valori della variabile @, sul piano della variabile complessa o. 
Inversamente se il contorno assegnato alla superficie minima X è tale che ne 
risultino determinate le aree corrispondenti A, A' sulla pseudosfera e sul piano, la 
questione si ridurrà a rappresentare in modo conforme l'area A sull'area A’, in guisa 
che al contorno dell'una corrisponda il contorno dell'altra. Eseguita la rappresentazione 
si otterrà o in funzione di w e basterà sostituire nelle formole : 
(A) :=Rf(1-0)F(0)d, y=R f20P (0) da, :— Rf(140)) P(0)d% 
(3) Trovano qui luogo opportuno le osservazioni seguenti. 
Si può determinare la posizione di un punto (, y, <) nello spazio S per mezzo delle variabili 
©, ©, e della sua distanza o dall’ origine colle formole 
.l_-wo; | V+ . l+6w0, 
g=tl@ ===", ]=d ==, 8=%0 === © 
W_- Wi * O —- 0 OT Wi 
E noto che ognì sostituzione lineare 
f 
UO + 
(B) = Cei 
yo +0 
a coefficienti reali e a determinante «d—y=1, effettuata sulla variabile ©, rappresenta un movi- 
mento della pseudosfera in sè medesima. Se a questa formola associamo l’altra 0=g/, avremo defi- 
nito un movimento di tutto lo spazio S in sè medesimo e propriamente una rotazione attorno all’ori- 
gine delle coordinate. 1 
Le sostituzioni (B) si distinguono, come è noto, in ellittiche, iperboliche e paraboliche a se- 
conda che le radici della equazione 
yo +(0— a) —-8=0, 
(cioè i valori di © che rimangono fissi per la sostituzione (B)) sono immaginarie, reali e distinte 
o coincidenti. Se la sostituzione (B) è ellittica, la rotazione dello spazio S avviene attorno ad una 
retta di 18 specie, se è iperbolica attorno ad una retta di 2* specie; in fine se la sostituzione è 
parabolica l’asse di rotazione coincide con una generatrice del cono #2-+y*—*=0. Calcolando 
l’effetto prodotto dalla sostituzione (B) sopra 4,7, si trova facilmente che esso si riduce alla sosti- 
tuzione ternaria omogenea 
al pe g° + 0? —at— pr4 y2+ 0°? 
vd «B 
2 ta at 2 
(0) BÎ — ay , 04 BY, BI + ay 
— €24 p°— y°+ d? «+ pay? + 02 
L aB+ 90 TA TRA ESE 
2 2001) (Rd 2 
eseguita sopra 2, Y, 2%. 
La (C) dà la sostituzione più generale che trasforma in sè medesima la ferma ternaria inde- 
finita 40° + y? — 22. Se si vuole che i coefficienti della (C) siano numeri interi, si ottiene il risul- 
tato enunciato da Gauss in una nota postuma (Werke, Bd. II, p. 311). 
5 . . . . ori QULQ @;, p . x 
Osserviamo in fine che ad ogni gruppo Fuchsiano di sostituzioni (B) ( D) corrisponderà, se- 
b) 
9 
43 
condo la formola (C), un gruppo oloedricamente isomorfo di rotazioni dello spazio $. 
