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per F(©) il suo valore 
per ottenere la superficie richiesta. 
15. La circostanza sopra accennata sì presenta quando il contorno assegnato è 
formato da tratti rettilinei e più in generale quando, essendo data una catena con- 
tinua chiusa formata da tratti rettilinei! e da piani, sì vuole determinare una porzione 
di superficie minima di 1° specie X%, semplicemente connessa, limitata ai tratti ret- 
tilinei ed ai piani e che tagli questi ultimi ad angolo retto (naturalmente nel senso 
della metrica angolare dello spazio S) (*). In tal caso infatti i tratti rettilinei del 
contorno sono linee assintotiche di 2 e le curve secondo le quali la superficie X taglia 
i piani del contorno sono linee di curvatura. Le prime, avendo per equazione (v. n. 10) 
uv = coste, ut v = costt 
vengono rappresentate sul piano complesso o da rette inclinate di 45° sugli assi coor- 
dinati; le seconde, avendo per equazione 
UICOSUSA Vi= (coste 
da rette parallele ai medesimi assi, cosicchè l'area A' sul piano o è racchiusa da 
un poligono rettilineo. Sulla sfera rappresentativa la immagine di una retta esistente 
sopra X è nel piano parallelo condotto pel centro normalmente alla retta stessa e 
quella di ogni linea di curvatura, tagliata da un piano del contorno, è nel piano pa- 
rallelo condotto pel centro, cosiechè l'area A è racchiusa da un poligono geodetico. 
Se si riguarda quest’ ultimo poligono come tracciato nel piano della variabile complessa 
©, ogni suo lato avendo un’ equazione della forma 
i aX3 + bY3 4 cla = 0 (a, d, c costl), 
ossia per le (2) 
a(lT— 0) + b(0+ ©) + e (1 + ® ©) == (0) 
è un arco di circolo col centro sull'asse delle quantità reali (£). Chiameremo questo 
poligono ad archi di circolo del piano complesso @ il poligono P. 
Effettuata la rappresentazione conforme del poligono P sul poligono A', quando 
si limiti nelle formole (A) n. 14 il corso della variabile complessa © entro il poli- 
gono P, avremo analiticamente rappresentata la porzione di superficie X richiesta, 
terminata al contorno assegnato. Ma se si lascia muovere la variabile © liberamente 
nel suo piano, le formole (A) ci daranno l’intera superficie minima, che nasce per 
continuazione analitica dalla porzione sopra considerata. Tale continuazione analitica 
ha luogo secondo le leggi seguenti. 
Come per le ordinarie superficie minime, si può dimostrare che ogni retta gia- 
cente sopra una superficie minima dello spazio S è un asse di simmetria per la super- 
ficie e similmente ogni piano che tagli ortogonalmente la superficie un piano di 
(1) Cf. Schwarz, Zortgesetete Untersuchungen iiber specielle Minimalflichen (Monatsberichte der 
Berliner Akademie 1871). 
(2) Cf. Poincaré, Acta Mathematica, Bd, I, $ 1. 
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