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simmetria ('). Ciò posto immaginiamo che il poligono fondamentale P, per riflessione 
(Spiegelung) sopra ciascuno degli archi circolari che lo limitano:dia origine ad altret- 
tanti nuovi poligoni, ciascuno aderente per un lato a P, e continuiamo indefinitamente 
la stessa operazione sui nuovi poligoni via via ottenuti (?). Se l'indice della varia- 
hile © esce dal poligono P per un suo lato @ ed entra nel poligono aderente P', 
le formole (A), mentre l'indice di w si muove entro P', danno una nuova porzione 
della superficie X, simmetrica della iniziale rispetto a quel lato 4 del contorno asse- 
gnato, che corrisponde al lato « del poligono P. Questa nuova porzione, contornata 
come la primitiva e aderente ad essa per il lato 4, ne forma lungo questo lato la 
continuazione analitica. In generale se l'indice di ©, movendo da un punto interno 
di P, percorre una linea aperta, che traversi un certo numero di poligoni della 
rete, altrettante porzioni alternatamente simmetriche e congruenti, della superficie X, 
traverserà nello spazio il punto (#,y,), le cui coordinate sono date dalle (A). 
Queste infinite porzioni di superficie costituiscono analiticamente un’ unica super- 
ficie sommamente intralciata, poichè in generale, come subito si vede, in ogni por- 
zione finita dello spazio entrano infinite di quelle porzioni di superficie. 
Perchè tale circostanza non si presenti, ma invece la superficie si estenda regolar- 
mente nello spazio, a guisa p. e. della superficie minima ordinaria studiata dal 
sig. Schwarz (!), sarà in primo luogo necessario che la rete di poligoni ad archi di 
circolo, nata per successive riflessioni dal poligono P, ricuopra un sola volta, senza 
sovrapposizioni, il semi-piano. Bisognerà cioè, secondo la terminologia del sig. Poin- 
caré, che il poligono P sia il semi-poligono generatore di un gruppo Fuchsiano (sim- 
metrico). Nel caso generale di un contorno formato da tratti rettilinei e da piani 
tale condizione necessaria non è per altro sufficiente, ma si richiede ulteriormente 
che gli angoli del poligono P soddisfino a certe diseguaglianze, il cui esame detta- 
gliato ci condurrebbe qui troppo lontano. Però se il contorno è unicamente formato 
di tratti rettilinei, basterà che il poligono P soddisfi alla condizione enunciata e la 
corrispondente superficie ® sarà in tutta la sua estensione una superficie regolare. 
In ogni caso alle superficie ®° sopra descritte, integrali della (3), costituite di 
infinite porzioni, che in ogni parte finita dello spazio entrino in numero finto, daremo 
il nome di superficie Puchsiane. 
(1) Queste proposizioni sono corollarî del teorema che una superficie minima è individuata da 
una sua striscia (v. n. 13 in fine e Schwarz, IMiscellen ecc.). La simmetria rispetto ad una retta o 
ad un piano deve intendersi naturalmente nel senso della metrica dello spazio S, cioè : 
Due punti sono simmetrici rispetto ad una retta o ad un piano quando il 
segmento rettilineo che li unisce è normale nel suo punto medio alla retta ed 
al piano. 
Considerata rispetto all’ordinario spazio euclideo è questa una specie di simmetria che si può 
dire obliqua. 
(*) Considerata sulla pseudosfera obiettiva, di cui il piano complesso è è 1° immagine, ogni tale 
operazione consiste nel ribaltare il corrispondente poligono geodetico attorno ad uno dei suoi lati. 
(3) Superficie minima contornata da un quadrilatero sghembo, i cui lati sono quattro spigoli due 
a due opposti di un tetraedro regolare (Gekrònte Preisschrift-Bestimmung einer speciellen Minimal 
fiche. Berlin, 1871). 
